Question

（2012•天门模拟）已知函数f（x）的图象经过点（1，λ），且对任意x∈R，都有f（x+1）=f（x）+2．数列{a_n}满足a1=λ-2，2an+1=

2n，n为奇数 f(an)，n为偶数

（I）求f（n）（n∈N^*）的表达式；
（II）设λ=3，求a₁+a₂+a₃+…+a_2n；
（III）若对任意n∈N^*，总有a_na_n+1＜a_n+1a_n+2，求实数λ的取值范围．

Answer 1

分析：（I）记b_n=f（n），由f（x+1）=f（x）+2知数列{b_n}为首项为λ，公差为2的等差数列，从而求出b_n．即f（n）．
（II）要求a₁+a₂+a₃+…+a_2n即求（a₁+a₃+…+a_2n-1）+（a₂+a₄+…+a_2n）再将a_n的值分别代入即可．
（III）由于a_n的通项公式有三个，所以分n为奇数和偶数两种情况讨论，
当n为奇数且n≥3时，判断a_n+1a_n+2与a_na_n+1=a_n+1（a_n+2-a_n大小得λ的范围，
当n为偶数时，判断a_n+1a_n+2与a_na_n+1=a_n+1（a_n+2-a_n）的大小，并且求出λ＞-2

解答：解：（I）记b_n=f（n），由f（x+1）=f（x）+2有b_n+1-b_n=2对任意n∈N^*都成立，
又b₁=f（1）=λ，所以数列{b_n}为首项为λ，公差为2的等差数列，
故b_n=2n+λ-2．即f（n）=2n+λ-2．
   （II）由题设λ=3
若n为偶数，则a_n=2^n-1；
若n为奇数且n≥3，则
a_n=f（a_n-1）=2a_n-1+λ-2=2•2^n-2+λ-2=2^n-1+λ-2=2^n-1+1
又a₁=λ-2=1，
即an=

1 n=1 2n-1+1 n为奇数且n≥3 2n-1   n为偶数

a₁+a₂+a₃+…+a_2n=（a₁+a₃+…+a_2n-1）+（a₂+a₄+…+a_2n）
=（2⁰+2²+…+2^2n-2+n-1）+（2¹+2³+…+2^2n-1）
=（1+2+2²+…+2^2n-1）+n-1
=2²ⁿ+n-2
（III）当n为奇数且n≥3时，
a_n+1a_n+2-a_na_n+1=a_n+1（a_n+2-a_n）=2ⁿ[2ⁿ⁺¹+λ-2-（2^n-1+λ-2）]
=3•2^2n-1＞0；
当n为偶数时，
a_n+1a_n+2-a_na_n+1=a_n+1（a_n+2-a_n）=（2ⁿ+λ-2）（2ⁿ⁺¹-2^n-1）]
=3•2^n-1（2ⁿ+λ-2）
因为a_na_n+1＜a_n+1a_n+2，所以2ⁿ+λ-2＞0，
∵n为偶数，∴n≥2，
∵2ⁿ+λ-2单增，∴4+λ-2＞0
即λ＞-2
故λ得取值范围为（-2，+∞）．

点评：此题考查等差数列的定义，及如何构造等差数列是解此题的关键．数列求和中注意要分n的奇偶性进行讨论．