Question

已知函数f（x）的图象关于直线x=2对称，且当x≠2时其导函数f′（x）满足xf′（x）＞2f′（x），若2＜a＜4，则下列表示大小关系的式子正确的是（　　）

• A、f（2^a）＜f（3）＜f（log₂a）
• B、f(3)＜f(log2a)＜f(2a)
• C、f(log2a)＜f(3)＜f(2a)
• D、f(log2a)＜f(2a)＜f(3)

Answer 1

分析：根据函数单调性和导数之间的关系，判断函数的单调性，利用函数的对称性和对数的基本运算即可得到结论．

解答：解：由xf′（x）＞2f′（x），得（x-2）f′（x）＞0，
则当x＞2时，f′（x）＞0，此时函数单调递增．
当x＜2时，f′（x）＜0，此时函数单调递减．
∵2＜a＜4，
∴1＜log₂a＜2，4＜2^a＜16，
∵函数f（x）的图象关于直线x=2对称，
∴f（log₂a）=f（4-log₂a），
∵1＜log₂a＜2，
∴2＜4-log₂a＜3，
∵当x＞2时，函数单调递增．
∴f（4-log₂a）＜f（3）＜f（2^a），
即f(log2a)＜f(3)＜f(2a)，
故选：C．

点评：本题主要考查函数值的大小比较，根据函数的导数研究函数的单调性，以及利用对称性将函数进行转化是解决本题的关键，综合考查函数的性质．