【题目】2018年开始,直播答题突然就火了,在某场活动中,最终仅有23人平分100万奖金,这23人可以说是“学霸”级的大神.但随着直播答题的发展,其模式的可持续性受到了质疑,某网战随机选取500名网民进行了调查,得到的数据如下表:
男 | 女 | |
认为直播答题模式可持续 | 180 | 140 |
认为直播答题模式不可持续 | 120 | 60 |
(1)根据表格中的数据,用独立性检验的思维方法判断是否有97.5%的把握认为对直播答题模式的态度与性别有关系?
(2)已知在参与调查的500人中,有15%曾参加答题游戏瓜分过奖金,而男性被调查者有12%曾参加游戏瓜分过奖金,求女性被调查者参与游戏瓜分过奖金的概率.
参考公式:
临界值表:
0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 | |
2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
【答案】(1)有97.5%的把握认为对直播答题模式的态度与性别有关系; (2)女性被调查者参与游戏瓜分过奖金的概率为0.195.
【解析】
(1)由公式,求出的观测值,从而可以确定有97.5%的把握认为对直播答题模式的态度与性别有关系;(2)先求出女性调查者获得过奖励的人数,再除以参与调查的女性总人数,即可得到答案。
(1)依题意,的观测值
故有97.5%的把握认为对直播答题模式的态度与性别有关系.
(2)由题意,参与答题游戏获得过奖励的人数共有人;
其中男性被调查者获得过奖励的人数为人,
故女性调查者获得过奖励人数为39人,记女性被调查者参与游戏瓜分过奖励为事件,则.
女性被调查者参与游戏瓜分过奖金的概率为0.195.
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【题目】丹麦数学家琴生(Jensen)是19世纪对数学分析做出卓越贡献的巨人,特别是在函数的凸凹性与不等式方面留下了很多宝贵的成果,设函数在上的导函数为,在上的导函数为,若在上恒成立,则称函数在上为“凸函数”,已知在上为“凸函数”,则实数的取值范围是__________.
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【题目】某校举行了一次考试,从学生中随机选取了人的成绩作为样本进行统计.已知这些学生的成绩全部在分至分之间,现将成绩按如下方式分成组:第一组,第二组,.......,第六组,并据此绘制了如图所示的频率分布直方图.
(1)估计这次月考数学成绩的平均分和众数;
(2)从成绩大于等于分的学生中随机抽取人,求至少有名学生的成绩在内的概率.
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【题目】某单位拟建一个扇环面形状的花坛(如图所示),该扇环面是由以点为圆心的两个同心圆弧和延长后通过点的两条直线段围成.按设计要求扇环面的周长为30米,其中大圆弧所在圆的半径为10米.设小圆弧所在圆的半径为米,圆心角为(弧度).
(1)求关于的函数关系式;
(2)已知在花坛的边缘(实线部分)进行装饰时,直线部分的装饰费用为4元/米,弧线部分的装饰费用为9元/米.设花坛的面积与装饰总费用的比为,求关于的函数关系式,并求出为何值时, 取得最大值?
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【题目】已知椭圆C:的离心率为,且经过点M(1,).
(1)求椭圆C的标准方程;
(2)已知直线l不过点P(0,1),与椭圆C交于A、B两点,记直线PA、PB的斜率分别为k1、k2,且满足k1+k2=1,求证:直线l过定点,并求出该定点坐标.
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【题目】(1)求证: .
(2)某同学在一次研究性学习中发现,以下五个式子的值都等于同一个常数:
sin213°+cos217°-sin13°cos17°;
sin215°+cos215°-sin15°cos15°;
sin218°+cos212°-sin18°cos12°;
sin2(-18°)+cos248°-sin(-18°)cos48°;
sin2(-25°)+cos255°-sin(-25°)cos55°.
①试从上述五个式子中选择一个,求出这个常数;
②根据①的计算结果,将该同学的发现推广为三角恒等式.
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【题目】已知在平面直角坐标系中,曲线的参数方程为(为参数),以轴的非负半轴为极轴,原点为极点建立极坐标系,两种坐标系中取相同的长度单位,若直线和 分别与曲线相交于、两点(,两点异于坐标原点).
(1)求曲线的普通方程与、两点的极坐标;
(2)求直线的极坐标方程及的面积.
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