Question

4．已知函数f（x）=asinx-bcosx（a，b常数，a≠0，x∈R）在x=$\frac{3π}{4}$处取得最小值，则函数y=f（$\frac{π}{4}$-x）是（　　）

• A． 偶函数且它的图象关于点（π，0）对称
• B． 偶函数且它的图象关于点（$\frac{3π}{2}$，0）对称
• C． 奇函数且它的图象关于点（$\frac{3π}{2}$，0）对称
• D． 奇函数且它的图象关于点（π，0）对称

Answer 1

分析 根据函数f（x）在x=$\frac{3π}{4}$处取得最小值，求得a=b，f（x）=$\sqrt{2}$asin（x-$\frac{π}{4}$），可得f（$\frac{π}{4}$-x）=$\sqrt{2}$asinx，从而得出结论．

解答 解：由于函数f（x）=asinx-bcosx=$\sqrt{{a}^{2}{+b}^{2}}$sin（x+θ）（a，b常数，a≠0，x∈R），
根据函数f（x）在x=$\frac{3π}{4}$处取得最小值，则f（$\frac{3π}{4}$）=$\frac{\sqrt{2}}{2}$a+$\frac{\sqrt{2}}{2}$b=-$\sqrt{{a}^{2}{+b}^{2}}$，∴a=b，
∴f（x）=asinx-acosx=$\sqrt{2}$asin（x-$\frac{π}{4}$），∴f（$\frac{π}{4}$-x）=$\sqrt{2}$asin（$\frac{π}{4}$-x-$\frac{π}{4}$）=-$\sqrt{2}$asinx，
故函数f（x）为奇函数且它的图象关于点（π，0）对称，
故选：D．

点评 本题主要考查辅角公式、三角函数的奇偶性和对称性．对于三角函数的基本性质要熟练掌握，这是解题的根本，属于基础题．