Question

已知函数f（x）=x³+ax²+bx+c在x=-

2

3

与x=1时都取得极值，若对?x∈[-1，2]，不等式f（x）＜c²恒成立，则c的取值范围是

 

．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的极值

专题：

分析：先求出f′（x），因为函数在x=-

2

3

与x=1时都取得极值，所以得到f′（-

2

3

）=0且f′（1）=0联立解得a与b的值，然后把a、b的值代入求得f（x）及f′（x），然后讨论导函数的正负得到函数的增减区间；再根据函数的单调性，由于x∈[-1，2]恒成立求出函数的最大值值为f（2），代入求出最大值，然后令f（2）＜c²列出不等式，求出c的范围即可．

解答： 解：∵f（x）=x³+ax²+bx+c，
∴f'（x）=3x²+2ax+b解：∵f（x）=x³+ax²+bx+c，
∴f'（x）=3x²+2ax+b，
由题意得：

f(- 2 3 )=0 f(1)=0

，
解得：

a=- 1 2 b=-2

，
f'（x）=3x²-x-2=（3x+2）（x-1），函数f（x）的单调区间如下表：

x	（-∞，- 2 3 ）	- 2 3	（- 2 3 ，1）	1	（1，+∞）
f′（x）	+	0	-	0	+
f（x）	↑	极大值	↓	极小值	↑

所以函数f（x）的递增区间是（-∞，-

2

3

）和（1，+∞），递减区间是（-

2

3

，1），
当x=-

2

3

时，f（x）=

22

27

+c为极大值，而f（2）=2+c，所以f（2）=2+c为最大值．
要使f（x）＜c²对x∈[-1，2]恒成立，须且只需c²＞f（2）=2+c．
解得c＜-1或c＞2；
故答案为：（-∞，-1），（2，+∞）．

点评：考查学生利用导数研究函数极值的能力，利用导数研究函数单调性的能力，以及理解函数恒成立时所取到的条件．