Question

已知直线与抛物线y²=2px（p＞0）交于A，B两点，且OA⊥OB，OD⊥AB交AB于D，点D的坐标为（2，1），则p的值为（　　）

• A．

  5

  2

• B．

  2

  3

• C．

  5

  4

• D．

  3

  2

Answer 1

分析：设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由直线OD斜率为

1

2

，OD⊥AB，知直线AB方程为2x+y-5=0，代入抛物线方程得y²+py-5p=0，从而得到y₁y₂=-5p，再由OA⊥OB，能求出p．

解答：解：设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
∵直线OD斜率为

1

2

，OD⊥AB，∴直线AB斜率为-2，
故直线AB方程为2x+y-5=0…（1）
将（1）代入抛物线方程得y²+py-5p=0，
则y₁y₂=-5p，
∵y12=2px₁，y22=2px₂，
则（y₁y₂）²=4p²x₁x₂，
故x₁x₂=

25

4

，
∵OA⊥OB
∴x₁x₂+y₁y₂=0，
∵p＞0，∴p=

5

4

．
故选C．

点评：本题考查直线与抛物线的位置关系的应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意等价转化思想的合理运用．