精英家教网 > 高中数学 > 题目详情
如图,已知直线与抛物线y2=2px(p>0)交于A,B两点,且OA⊥OB,OD⊥AB交AB于点D,点D的坐标为(2,1),求p的值.

【答案】分析:A、B两点在抛物线y2=2px上,可设点A(,y1),B(,y2),根据向量互相垂直,利用数量积列式,化简得.利用经过两点的斜率公式,得直线AB的斜率为,结合点斜式方程得到直线AB的方程为,令y=0,化简可得x=2p,所以直线AB经过x轴上的定点M(2p,0).然后根据OD⊥AB,得到直线AB的斜率为-2,最后结合D、M的坐标,可得,解之得p=
解答:解:因为A、B两点在抛物线y2=2px上,设点A(,y1),B(,y2
 
=
∵y1y2≠0,∴…①
∵直线AB的斜率为
∴直线AB的方程为
令y=0,得=2px-
∴-y1y2=2px…②
将①代入②,得4p2=2px⇒x=2p
所以直线AB经过x轴上的定点M(2p,0)
∵OD⊥AB,OD的斜率为k1==
∴直线AB的斜率为
∴结合D、M的坐标,可得,解之得p=
点评:本题给出过原点的直线与抛物线交于A,B两点,且OA⊥OB,并且已知原点在直线AB上的射影坐标,求抛物线的焦参数值.着重考查了抛物线的简单性质、直线与圆锥曲线间的关系等知识点,属于难题.
练习册系列答案
相关习题

科目:高中数学 来源: 题型:

精英家教网已知抛物线G的顶点在原点,焦点在y轴正半轴上,点P(m,4)到其准线的距离等于5.
(I)求抛物线G的方程;
(II)如图,过抛物线G的焦点的直线依次与抛物线G及圆x2+(y-1)2=1交于A、C、D、B四点,试证明|AC|•|BD|为定值;
(III)过A、B分别作抛物G的切线l1,l2且l1,l2交于点M,试求△ACM与△BDM面积之和的最小值.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源:2011-2012学年浙江省桐乡市高三10月月考文科数学 题型:填空题

22.(本题满分15分)已知抛物线C的顶点在原点,焦点在y轴正半轴上,点到其准线的距离等于5.

(Ⅰ)求抛物线C的方程;

(Ⅱ)如图,过抛物线C的焦点的直线从左到右依次与抛物线C及圆交于A、C、D、B四点,试证明为定值;

 
(Ⅲ)过A、B分别作抛物C的切线交于点M,求面积之和的最小值.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源:2011-2012学年山东省济宁市高三第二次月考文科数学 题型:解答题

(本题满分18分)已知抛物线C的顶点在原点,焦点在y轴正半轴上,点到其准线的距离等于5.

(Ⅰ)求抛物线C的方程;

(Ⅱ)如图,过抛物线C的焦点的直线从左到右依次与抛物线C及圆交于A、C、D、B四点,试证明为定值;

(Ⅲ)过AB分别作抛物C的切线交于点M,求面积之和的最小值.

 

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源:山东省月考题 题型:解答题

已知抛物线G的顶点在原点,焦点在y轴正半轴上,点P(m,4)到其准线的距离等于5.
(I)求抛物线G的方程;
(II)如图,过抛物线G的焦点的直线依次与抛物线G及圆x2+(y﹣1)2=1交于A、C、D、B四点,试证明|AC||BD|为定值;
(III)过A、B分别作抛物G的切线l1,l2且l1,l2交于点M,试求△ACM与△BDM面积之和的最小值.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:

(本小题满分15分)

        已知抛物线G的顶点在原点,焦点在y轴正半轴上,点P(m,4)到其准线的距离等于5。

   (I)求抛物线G的方程;

   (II)如图,过抛物线G的焦点的直线依次与抛物线G及圆交于A、C、D、B四点,试证明为定值;

 
   (III)过A、B分别作抛物G的切线交于点M,试求面积之和的最小值。

查看答案和解析>>

同步练习册答案