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22.(本题满分15分)已知抛物线C的顶点在原点,焦点在y轴正半轴上,点到其准线的距离等于5.

(Ⅰ)求抛物线C的方程;

(Ⅱ)如图,过抛物线C的焦点的直线从左到右依次与抛物线C及圆交于A、C、D、B四点,试证明为定值;

 
(Ⅲ)过A、B分别作抛物C的切线交于点M,求面积之和的最小值.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

【答案】

解: (Ⅰ)设抛物线方程为,由题意得:

,, 所以抛物线C的方程为…4分

(Ⅱ) 解法一:抛物线焦点与的圆心重合即为E(0,1),

设过抛物线焦点的直线方程为,,

,,得到,………………………….2分

由抛物线的定义可知,,

.即为定值1………..3分

(Ⅲ),所以,

所以切线AM的方程为,切线BM的方程为,

解得………………………………………………………….2分

所以点M到直线AB的距离为

…………………………………..………….2分

,所以,,

所以上是增函数,当,即时,,即面积之和的最小值为2………………………………………………………………………………2分

(Ⅱ)解法二:设过抛物线焦点的直线方程为,,不妨设

,,得到,………………………….2分

,,

,即为定值……………..………..3分

(Ⅲ),所以,所以切线AM的方程为,

切线BM的方程为,解得……….2分

所以点M到直线AB的距离为

……………………………….2分

,所以,,

所以上是增函数,当,即时,,即面积之和的最小值为2………………………………………………………………………………2分

 

【解析】略

 

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