22.(本题满分15分)已知抛物线C的顶点在原点,焦点在y轴正半轴上,点到其准线的距离等于5.
(Ⅰ)求抛物线C的方程;
(Ⅱ)如图,过抛物线C的焦点的直线从左到右依次与抛物线C及圆交于A、C、D、B四点,试证明
为定值;
|
解: (Ⅰ)设抛物线方程为,由题意得:
,
, 所以抛物线C的方程为
…4分
(Ⅱ) 解法一:抛物线焦点与的圆心重合即为E(0,1),
设过抛物线焦点的直线方程为,
,
,
,得到
,………………………….2分
由抛物线的定义可知,
,
.即
为定值1………..3分
(Ⅲ),所以
,
所以切线AM的方程为,切线BM的方程为
,
解得即
………………………………………………………….2分
所以点M到直线AB的距离为.
设
…………………………………..………….2分
令,所以
,
,
所以在
上是增函数,当
,即
时,
,即
与
面积之和的最小值为2………………………………………………………………………………2分
(Ⅱ)解法二:设过抛物线焦点的直线方程为,
,不妨设
.
,
,得到
,………………………….2分
,
,
,即
为定值……………..………..3分
(Ⅲ),所以
,所以切线AM的方程为
,
切线BM的方程为,解得
即
……….2分
所以点M到直线AB的距离为.
设
……………………………….2分
令,所以
,
,
所以在
上是增函数,当
,即
时,
,即
与
面积之和的最小值为2………………………………………………………………………………2分
【解析】略
科目:高中数学 来源:2013届浙江省余姚中学高三上学期期中考试文科数学试卷(带解析) 题型:解答题
(本题满分15分)已知点(0,1),
,直线
、
都是圆
的切线(
点不在
轴上).
(Ⅰ)求过点且焦点在
轴上的抛物线的标准方程;
(Ⅱ)过点(1,0)作直线与(Ⅰ)中的抛物线相交于
两点,问是否存在定点
使
为常数?若存在,求出点
的坐标及常数;若不存在,请说明理由
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科目:高中数学 来源:2011-2012学年浙江省桐乡市高三10月月考理科数学 题型:解答题
(本题满分15分)已知函数.
(Ⅰ)若为定义域上的单调函数,求实数m的取值范围;
(Ⅱ)当时,求函数
的最大值;
(Ⅲ)当,且
时,证明:
.
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科目:高中数学 来源:2011-2012学年浙江省桐乡市高三下学期2月模拟考试文科数学 题型:解答题
(本题满分15分)已知圆N:和抛物线C:
,圆的切线
与抛物线C交于不同的两点A,B,
(1)当直线的斜率为1时,求线段AB的长;
(2)设点M和点N关于直线对称,问是否存在直线
使得
?若存在,求出直线
的方程;若不存在,请说明理由.
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科目:高中数学 来源:杭州市2010年第二次高考科目教学质量检测 题型:解答题
(本题满分15分)已知直线,曲线
(1)若且直线与曲线恰有三个公共点时,求实数
的取值;
(2)若,直线与曲线M的交点依次为A,B,C,D四点,求|AB+|CD|的取值范围。[来源:Z+xx+k.Com]
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