22.(本题满分15分)已知抛物线C的顶点在原点,焦点在y轴正半轴上,点到其准线的距离等于5.
(Ⅰ)求抛物线C的方程;
(Ⅱ)如图,过抛物线C的焦点的直线从左到右依次与抛物线C及圆交于A、C、D、B四点,试证明为定值;
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解: (Ⅰ)设抛物线方程为,由题意得:
,, 所以抛物线C的方程为…4分
(Ⅱ) 解法一:抛物线焦点与的圆心重合即为E(0,1),
设过抛物线焦点的直线方程为,,
,,得到,………………………….2分
由抛物线的定义可知,,
.即为定值1………..3分
(Ⅲ),所以,
所以切线AM的方程为,切线BM的方程为,
解得即………………………………………………………….2分
所以点M到直线AB的距离为.
设
…………………………………..………….2分
令,所以,,
所以在上是增函数,当,即时,,即与面积之和的最小值为2………………………………………………………………………………2分
(Ⅱ)解法二:设过抛物线焦点的直线方程为,,不妨设.
,,得到,………………………….2分
,,
,即为定值……………..………..3分
(Ⅲ),所以,所以切线AM的方程为,
切线BM的方程为,解得即……….2分
所以点M到直线AB的距离为.
设
……………………………….2分
令,所以,,
所以在上是增函数,当,即时,,即与面积之和的最小值为2………………………………………………………………………………2分
【解析】略
科目:高中数学 来源:2013届浙江省余姚中学高三上学期期中考试文科数学试卷(带解析) 题型:解答题
(本题满分15分)已知点(0,1),,直线、都是圆的切线(点不在轴上).
(Ⅰ)求过点且焦点在轴上的抛物线的标准方程;
(Ⅱ)过点(1,0)作直线与(Ⅰ)中的抛物线相交于两点,问是否存在定点使为常数?若存在,求出点的坐标及常数;若不存在,请说明理由
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科目:高中数学 来源:2011-2012学年浙江省桐乡市高三10月月考理科数学 题型:解答题
(本题满分15分)已知函数.
(Ⅰ)若为定义域上的单调函数,求实数m的取值范围;
(Ⅱ)当时,求函数的最大值;
(Ⅲ)当,且时,证明:.
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科目:高中数学 来源:2011-2012学年浙江省桐乡市高三下学期2月模拟考试文科数学 题型:解答题
(本题满分15分)已知圆N:和抛物线C:,圆的切线与抛物线C交于不同的两点A,B,
(1)当直线的斜率为1时,求线段AB的长;
(2)设点M和点N关于直线对称,问是否存在直线使得?若存在,求出直线的方程;若不存在,请说明理由.
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科目:高中数学 来源:杭州市2010年第二次高考科目教学质量检测 题型:解答题
(本题满分15分)已知直线,曲线
(1)若且直线与曲线恰有三个公共点时,求实数的取值;
(2)若,直线与曲线M的交点依次为A,B,C,D四点,求|AB+|CD|的取值范围。[来源:Z+xx+k.Com]
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