Question

2．如图，点P是圆O：x²+y²=4上一点，圆O在点P处的切线为m，PQ垂直x轴于点Q（P、Q不重合），线段PQ的重点为E，点A（-2，0），直线l：x=2与直线m交于点M．
（1）若点P（1，$\sqrt{3}$），求直线m的方程；
（2）当P在圆O上运动时，证明A，E，M三点共线．

Answer 1

分析 （1）若点P（1，$\sqrt{3}$），求出切线斜率，即可求直线m的方程；
（2）当P在圆O上运动时，证明k_AE=k_AM，即可证明A，E，M三点共线．

解答 （1）解：∵点P（1，$\sqrt{3}$），
∴k_OP=$\sqrt{3}$，∴k_m=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴直线m的方程为y-$\sqrt{3}$=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$（x-1），即x+$\sqrt{3}$y-4=0；
（2）证明：设P（m，n），则直线m的方程为mx+ny-4=0，x=2，M（2，$\frac{4-2m}{n}$）．
又E（m，$\frac{n}{2}$），∴k_AE=$\frac{\frac{n}{2}}{m+2}$=$\frac{n}{2m+4}$，k_AM=$\frac{\frac{4-2m}{n}}{4}$=$\frac{2-m}{2n}$，
∵m²+n²=4，∴k_AE=k_AM，
∴A，E，M三点共线．

点评 本题考查直线方程，考查直线与圆的位置关系，考查学生的计算能力，属于中档题．