Question

15．已知f（x）=ax⁴+bx²+c的图象经过点（0，1），且在x=1处的切线方程是y=x-2
（Ⅰ）求实数a，b，c的值；
（Ⅱ）求y=f（x）的单调递增区间．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函数的导数，根据函数的切线方程，得到关于a，b，c的方程，解出即可；
（Ⅱ）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的递增区间即可．

解答 解：（Ⅰ）f（x）=ax⁴+bx²+c的图象经过点（0，1），则c=1，
f′（x）=4ax³+2bx，k=f′（1）=4a+2b=1，
切点为（1，-1），则f（x）=ax⁴+bx²+c的图象经过点（1，-1）
得$a+b+c=-1，得a=\frac{5}{2}，b=-\frac{9}{2}$；
（Ⅱ）由（Ⅰ）得：$f（x）=\frac{5}{2}{x^4}-\frac{9}{2}{x^2}+1$，
令${f^'}（x）=10{x^3}-9x＞0，\;\;⇒-\frac{{3\sqrt{10}}}{10}＜x＜0，或x＞\frac{{3\sqrt{10}}}{10}$，
故函数的单调递增区间为$（-\frac{{3\sqrt{10}}}{10}，0）$和$（\frac{{3\sqrt{10}}}{10}，+∞）$．

点评 本题考查了函数的切线方程问题，考查函数的单调性问题，考查导数的应用，是一道中档题．