Question

（07年湖南卷理）（13分）

已知（）是曲线上的点，，是数列的前项和，且满足，，…．

（I）证明：数列（）是常数数列；

（II）确定的取值集合，使时，数列是单调递增数列；

（III）证明：当时，弦（）的斜率随单调递增．

Answer 1

解析：（I）当时，由已知得．

因为，所以．                …… ①

于是．                                  ……②

由②－①得．                             …… ③

于是．                                 ……  ④

由④－③得，                                 …… ⑤

所以，即数列是常数数列．

（II）由①有，所以．由③有，，

所以，．

而 ⑤表明：数列和分别是以，为首项，6为公差的等差数列，

所以，，，

数列是单调递增数列且对任意的成立．

且

．

即所求的取值集合是．

（III）解法一：弦的斜率为

任取，设函数，则

记，则，

当时，，在上为增函数，

当时，，在上为减函数，

所以时，，从而，

所以在和上都是增函数．

由（II）知，时，数列单调递增，

取，因为，所以．

取，因为，所以．

所以，即弦的斜率随单调递增．

解法二：设函数，同解法一得，

在和上都是增函数，

所以，．

故，即弦的斜率随单调递增．