Question

对于连续函数f（x）和g（x），函数|f（x）-g（x）|在闭区间[a，b]上的最大值称为f（x）与g（x）在闭区间[a，b]上的“绝对差”，记为

△

a≤x≤

b（f（x），g（x）），则

△

1≤x≤

4（

1

x+1

，

2

9

x2-x）=

 

．

Answer 1

分析：根据题意设h（x）=

1

x+1

-

2

9

x2+x，x∈[1，4]可求得h′（x）．令h′（x）＞0解得1＜x＜2，令h′（x）＜0解得2＜x＜4．所以h（x）在[1，4]上先增后减．所以h（x）的最值在x=1或x=2或x=4处取得，
进而求出函数h（x）的最值即可得到答案．

解答：解：设h（x）=

1

x+1

-

2

9

x2+x，x∈[1，4]
所以h′（x）=-

1

(x+1)2

-

4

9

x+1，x∈[1，4]
令h′（x）＞0解得1＜x＜2，令h′（x）＜0解得2＜x＜4．
所以h（x）在[1，4]上先增后减．
所以h（x）的最值在x=1或x=2或x=4处取得，
h（1）=

23

18

，h（2）=

13

9

，h（4）=

29

45

，
所以h（x）∈[

29

45

，

13

9

]
故答案为：

13

9

．

点评：解决此类问题的关键是利用求导公式正确求出函数的导数结合不等式的解法判断导数与0的大小，进而判断出函数的单调性即可得到函数的最值最终解决问题，利用导数求函数的最值是近年高考考查的重点．