Question

对于连续函数f（x）和g（x），函数|f（x）-g（x）|在闭区间[a，b]上的最大值为f（x）与g（x）在闭区间[a，b]上的“绝对差”，记为

△

a≤x≤b

(f(x)，g(x))则

△ -2≤x≤3 ( 1 3 x3， 1 2 x2+2x)

=

10

3

．

Answer 1

分析：由已知中关于f（x）与g（x）在闭区间[a，b]上的“绝对差”的定义，我们构造函数h（x）=f（x）-g（x）=

1

3

x3-

1

2

x2-2x，再利用导数确定h（x）的单调性和极值，与h（-2）和h（3）比较即可得h（x）的最值，进而得到|h（x）|的最大值，可得到答案．

解答：解：令h（x）=f（x）-g（x）=

1

3

x3-

1

2

x2-2x，x∈[-2，3]，
∴h'（x）=x²-x-2，x∈[-2，3]，
令h'（x）=x²-x-2＞0，解得，-2≤x＜-1或2＜x≤3，
令h'（x）=x²-x-2＜0，解得，-1＜x＜2，
∴h（x）在[-2，-1）上单调递增，（-1，2）上单调递减，（2，3]上单调递增，
∴h（-2）=-

2

3

，h（-1）=

7

6

，h（2）=-

10

3

，h（3）=-

3

2

，
∴h(x)∈[-

10

3

，

7

6

]，
∴|h（x）|_max=

10

3

，
∴

△ -2≤x≤3 ( 1 3 x3， 1 2 x2+2x)

⁼

10

3

．
故答案为：

10

3

．

点评：本题考查的知识点是函数最值的应用，解决此类问题的关键是利用求导公式正确求出函数的导数，进而判断出函数的单调性即可得到函数的最值最终解决问题，利用导数求函数的最值是近年高考考查的重点．属于中档题．