Question

已知b＞-1，c＞0，函数f（x）=x+b的图象与函数g（x）=x²+bx+c的图象相切．
（1）设b=?（c），求?（c）；
（2）是否存在常数c，使得函数H（x）=f（x）g（x）在（-∞，+∞）内有极值点．若存在，求出c的取值范围；若不存在，请说明理由．

Answer 1

解：（1）依题设可知f'（x）=g'（x），即2x+b=1，
∴为切点横坐标，
于是，化简得（b+1）²=4c．
得．
（2）由H（x）=（x+b）（x²+bx+c）=x³+2bx²+（b²+c）x+bc，
可得H'（x）=3x²+4bx+（b²+c）．
令3x²+4bx+（b²+c）=0，依题设欲使函数H（x）在（-∞，+∞）内有极值点，
则须满足
亦即 ，
又c＞0，∴
故存在常数，使得函数H（x）在（-∞，+∞）内有极值点．
分析：（1）根据导数的几何意义可知f'（x）=g'（x），即2x+b=1，得到为切点横坐标，再根据图象的公共点的坐标，得，化简得（b+1）²=4c．解方程，得．
（2）将已知函数代入，得：H（x）=（x+b）（x²+bx+c）=x³+2bx²+（b²+c）x+bc，求导数得H′（x）是一个二次函数，要使函数H（x）在（-∞，+∞）内有极值点，说明方程H′（x）=0有两个不同的根，再用根的判别式得到：，结合c＞0，∴，故存在常数c，使得函数
H（x）在（-∞，+∞）内有极值点．
点评：本题考查了导数的几何意义和利用导数研究函数的单调区间与极值，属于中档题．