Question

在边长为a的正方形ABCD所在平面外取一点P，使PA⊥平面ABCD，且PA=AB，在AC的延长线上取一点G。 

（1）若CG=AC，求异面直线PG与CD所成角的大小；

（2）若CG=AC，求点C到平面PBG的距离；

（3）当点G在AC的延长线上运动时（不含端点C），求二面角P-BG-C的取值范围。

Answer 1

（1）（2）（3）二面角P-BG-C的取值范围是

解析:

分析：本题如利用“几何法”，则通过“平移变换”将异面直线角化归为三角形的内角，由解三角形的方法求之，凡“点面距离”可利用等积法求之，至于二面角，则通过“作-证-算”三步曲求得；本题如利用“向量法”，则建立适当的空间直角坐标系，写出各点坐标，再根据公式而求之。

方法一：（1）过点G作GE∥CD交AD的延长线于点E，连PE，则∠PGE是异面直线PG与CD所成的角，，则由条件得GE=2a，PG=3a，

cos ∠PGE=,所以异面直线PG与CD所成角等于；

（2）设h,则利用等积法知，在△PBG中，PB=，PG=3a，BG=，，得，又在△CBG中，，从而由得；

（3）作CF⊥AC交PG于F，作FH⊥BG交BG于H，连CH，因为PA⊥平面ABCD，所以PA⊥AC，所以PA∥CG，得CG⊥平面ABCD，由三垂线定理得∠FHC是二面角P-BG-C的平面角，设，则由△CGF∽△AGP得，

在△CBG中，得

所以，从而

，所以二面角P-BG-C的取值范围是。

方法二：建立如图所示的直角坐标系，

则A（0，0，O、0），B（a，0，0），C（a，a，0），D（0，a，0），P（0，0，a）。

由条件得G（2 a ，2 a ，0），

，

所以，

所以异面直线PG与CD所成角等于；

（2）设平面PBG的法向量为因，

所以由得，即又，

所以点C到平面PBG的距离为；

由条件设G（t,t,0）, 其中，平面PBG的法向量为

因，，所以由得，

即而平面CBG的法向量，

所以，因为，所以，

易知二面角P-BG-C的平面角是锐角，所以二面角P-BG-C的平面角等于，所以二面角PP-BG-C的取值范围是。

点评:本题主要考查异面直线所成角的空间想象能力,利用体积法求点面距离的运算能力,二面角的估算能力,第(3)问有机的将函数的值域与立体几何结合,较好地考查学生综合分析与解决问题的能力.