Question

（本题满分9分）

设平面上向量＝(cosα，sinα)  (0°≤α＜360°)，＝(－，)．

(1)试证：向量与垂直；

(2)当两个向量与的模相等时，求角α.

 

Answer 1

【答案】

(1)见解析；(2)α＝30°，或α＝210°.

【解析】本试题主要是考查了向量的数量积的运算，以及向量的数量积的性质的运用，以及三角函数的变形运用，和三角方程的求解的综合试题。

（（1）根据已知要证明向量与垂直，则利用数量积为零即可。

（2）由|a|＝1，|b|＝1，且|a＋b|＝|a－b|，利用模相等，则平方后相等来解得关于角α的方程，然后解三角方程得到角的值。

解：　(1)(a＋b)·(a－b)＝(cosα－，sinα＋)·(cosα＋，sinα－)

＝(cosα－)(cosα＋)＋(sinα＋)(sinα－)

＝cos²α－＋sin²α－＝0，

∴(a＋b)⊥(a－b)．            ……4分

(2)由|a|＝1，|b|＝1，且|a＋b|＝|a－b|，平方得(a＋b)²＝(a－b)²，

整理得2a²－2b²＋4ab＝0①.

∵|a|＝1，|b|＝1，∴①式化简得a·b＝0，

a·b＝(cosα，sinα)·(－，)＝－cosα＋sinα＝0，即cos(60°＋α)＝0.

∵0°≤α＜360°，∴可得α＝30°，或α＝210°.       ……9分