Question

已知函数f（x）=|4x-x²|（x∈R），对于任意的正实数t∈（0，b]，定义：函数f（x）在[0，t]上的最小值为N（t），函数f（x）在[0，t]上的最大值为M（t），现若存在最小正整数m，使得M（t）-N（t）≤m•t对任意的正实数t∈（0，b]成立，则称函数f（x）为区间（0，b]的“m阶收缩函数”
（1）当t∈（0，1]时，试写出N（t），M（t）的表达式，并判断函数f（x）是否为（0，1]上的“m阶收缩函数”，如果是，请写出对应的m的值；（只写出相应结论，不要求证明过程）
（2）若函数f（x）是（0，b]上的4阶收缩函数，求实数b的取值范围．

Answer 1

分析：（1）函数f（x）=|4x-x²|=|-（x-2）²+4|，根据x∈[0，t]，t∈（0，1]，可得N（t）=0，M（t）=4t-t²，从而可知函数f（x）为区间（0，1]的“4阶收缩函数”
（2）函数f（x）是（0，b]上的4阶收缩函数的意义为：M（t）-N（t）≤4t对任意的正实数t∈（0，b]成立，同时存在t∈（0，b]，使得M（t）-N（t）＞3t成立．下面进行分类讨论：①当0＜b＜2时，t∈（0，b]，N（t）=0，M（t）=4t-t²
成立；②当2≤b＜2+2

2

时，t∈（0，b]，N（t）=0，M（t）=

4t-t2，t∈[0，2] 4，t∈(2，b]

成立；③当b≥2+2

2

时，t∈（0，b]，N（t）=0，M（t）=

4t-t2，t∈[0，2] 4，t∈(2，2+2 2 ] t2-4t，t∈(2+2 2 ，b]

，0≤t≤8成立，故可求b的取值范围．

解答：解：（1）函数f（x）=|4x-x²|=|-（x-2）²+4|，
∵x∈[0，t]，t∈（0，1]，∴N（t）=0，M（t）=4t-t²
∴M（t）-N（t）=4t-t²=4t（1-t）≤4•t对t∈（0，1]成立，
则函数f（x）为区间（0，1]的“4阶收缩函数”
（2）函数f（x）是（0，b]上的4阶收缩函数的意义为：M（t）-N（t）≤4t对任意的正实数t∈（0，b]成立，同时存在t∈（0，b]，使得M（t）-N（t）＞3t成立
①当0＜b＜2时，t∈（0，b]，N（t）=0，M（t）=4t-t²
∴M（t）-N（t）=4t-t²=4t（1-t）≤4•t成立，同时存在t∈（0，b]，使得M（t）-N（t）＞3t成立
②当2≤b＜2+2

2

时，t∈（0，b]，N（t）=0，M（t）=

4t-t2，t∈[0，2] 4，t∈(2，b]

∴t∈[0，2]，M（t）-N（t）=4t-t²≤4•t成立
t∈（2，b]，4≤4•t成立，同时存在t∈（0，b]，使得M（t）-N（t）=4t-t²＞3t成立
③当b≥2+2

2

时，t∈（0，b]，N（t）=0，M（t）=

4t-t2，t∈[0，2] 4，t∈(2，2+2 2 ] t2-4t，t∈(2+2 2 ，b]

∴t∈[0，2]，M（t）-N（t）=4t-t²≤4•t成立
t∈（2，2+2

2

]，4≤4•t成立，
t∈(2+2

2

，b]，t²-4t≤t，∴0≤t≤8
同时存在t∈（0，b]，使得M（t）-N（t）=4t-t²＞3t成立
∴0＜b≤8时，函数f（x）是（0，b]上的4阶收缩函数．

点评：本题是典型的信息题，主要考查对新定义的理解，以及叙述的规范性，解题的关键是正确运用定义，正确进行分类．