Question

2．已知函数f（x）=atanx-e^x-2a（e为自然对数的底数）
（1）当a=1时，求曲线f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；
（2）若不等式f（x）≥-3a在区间（0，$\frac{π}{2}$）内恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）当a=1时，求导数，确定切线的斜率，切点坐标，即可求曲线f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；
（2）若不等式f（x）≥-3a在区间（0，$\frac{π}{2}$）内恒成立，a≥$\frac{{e}^{x}}{tanx+1}$0在区间（0，$\frac{π}{2}$）内恒成立．构造函数，求出函数的最大值，即可求实数a的取值范围．

解答 解：（1）当a=1时，f（x）=tanx-e^x-2，f（0）=-3，f′（x）=$\frac{1}{co{s}^{2}x}$-e^x，
∴f′（0）=0，
∴曲线f（x）在点（0，f（0））处的切线方程为y=-3；
（2）不等式f（x）≥-3a在区间（0，$\frac{π}{2}$）内恒成立，
即不等式atanx-e^x+a≥0在区间（0，$\frac{π}{2}$）内恒成立，
∴a≥$\frac{{e}^{x}}{tanx+1}$0在区间（0，$\frac{π}{2}$）内恒成立
令y=$\frac{{e}^{x}}{tanx+1}$，则y′=$\frac{{e}^{x}（sinxcosx+co{s}^{2}x-1）}{（sinx+cosx）^{2}}$=$\frac{\sqrt{2}sin（2x+\frac{π}{4}）-1}{2（sinx+cosx）^{2}}•{e}^{x}$，
∴0＜x＜$\frac{π}{4}$，y′＞0，$\frac{π}{4}＜x＜\frac{π}{2}$，y′＞0，
∴x=$\frac{π}{4}$，y_max=$\frac{1}{2}{e}^{\frac{π}{4}}$，
∴a≥$\frac{1}{2}{e}^{\frac{π}{4}}$．

点评 本题考查导数的几何意义，考查恒成立问题，考查学生分析解决问题的能力，正确转化是关键．