Question

如图，在正方体A₁B₁C₁D₁－ABCD中，棱长为a，求两异面直线B₁D₁和C₁A所成的角．

Answer 1

答案：
解析：

解法1：取D1D、B1B的中点分别为M、N，连结MN，则B1D1∥MN，且MN过正方体的中心O点，又由点O∈C1A，连结AN，则∠AON为所求异面直线B1D1和C1A所成的角或其补角． 　　∵B＝a，NB＝，∴在Rt△NBA中，AN2＝AB2＋NB2＝a2＋()2＝a2． 　　∵正方体棱长为a， 　　∴MN＝B1D1＝，AC1＝． 　　又∵O是正方体对称中心，∴ON＝MN＝a．而AO＝AC1＝a， 　　∴AO2＋ON2＝(a)2＋(a)2＝a2＝AN2． 　　∴△AON是直角三角形， 　　即∠AON＝90°．故异面直线B1D1和C1A所成角是90°． 　　解法2：(补体法)在原正方体A1B1C1D1－ABCD的旁边，补上一个与原正方体棱长相等的正方体，如图所示．取新正方体与A1D1在同一直线的顶点为E，连结C1E、AE，由正方体性质可知，C1EB1D1， 　　∴∠EC1A为所求两异面直线B1D1和C1A所成的角或其补角． 　　∵正方体棱长为a，由正方体性质知C1E＝，C1A＝， 　　又EA2＝A1A2＋AE2＝a2＋(2a)2＝5a2＝C1E2＋C1A2， 　　∴△EAC1是直角三角形，∠EC1A＝90°． 　　深化升华：割补法在立体几何中有广泛的用途，对于“补”来说，可以全补(如本例)也可以“局部补形”(如本例只将底面A1B1C1D1延伸至A1B1E，所作平行线为EC1，构成△EAC1)，都可以达到目的．

提示：

可将B1D1平移，使B1移到C1或A1；也可将C1A平移，使C1移到B1或D1，但此时B1D1落到正方体外面去了或C1A落到正方体外面去了，给解题带来了困难，如果利用正方体的对称中心，也能求出异面直线所成的角．