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选修4-4:坐标系与参数方程
已知在平面直角坐标系xOy内,点P(x,y)在曲线C:
x=1+cosθ
y=sinθ
为参数,θ∈R)上运动.以Ox为极轴建立极坐标系,直线l的极坐标方程为ρcos(θ+
π
4
)=0

(Ⅰ)写出曲线C的标准方程和直线l的直角坐标方程;
(Ⅱ)若直线l与曲线C相交于A、B两点,点M在曲线C上移动,试求△ABM面积的最大值,并求此时M点的坐标.
分析:(Ⅰ)把给出的圆的参数方程移项平方即可得到圆的普通方程,展开两角和的余弦公式,整理后代入
x=ρcosθ,y=ρsinθ即可得到直线的直角坐标方程;
(Ⅱ)使△ABM面积取得最大值的点M在经过圆心,且与直线l垂直的直线上,由弦心距,圆的半径,求出弦AB的长度,M到l的距离为弦心距与圆的半径的和,然后直接代入三角形面积公式求解.
解答:解:(Ⅰ)由
x=1+cosθ
y=sinθ
,得
x-1=cosθ
y=sinθ
,平方作和得曲线C的标准方程:(x-1)2+y2=1.
ρcos(θ+
π
4
)=0
,得ρcos
π
4
cosθ-ρsin
π
4
sinθ=0,即ρcosθ-ρsinθ=0.
∴直线l的直角坐标方程为:x-y=0;
(Ⅱ)∵圆心(1,0)到直线l的距离为d=
1
1+1
=
2
2

则圆上的点M到直线的最大距离为d+r=
2
2
+1
(其中r为曲线C的半径),
|AB|=2
12-(
2
2
)
2
=
2

设M点的坐标为(x,y),
则过M且与直线l垂直的直线l′的方程为:x+y-1=0,
联立
(x-1)2+y2=1
x+y-1=0
,解得:
x=
2
2
+1
y=-
2
2
,或
x=-
2
2
+1
y=
2
2

经检验
x=-
2
2
+1
y=
2
2
舍去.
故当点M为(
2
2
+1,-
2
2
)
时,△ABM面积的最大值为:
(S△ABM)max=
1
2
×
2
×(
2
2
+1)=
2
+1
2
点评:本题考查了参数方程化普通方程,考查了点的极坐标化直角坐标,考查了直线与圆锥曲线的关系,解答的关键是明确使△ABM面积最大时的M的位置,是中档题.
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科目:高中数学 来源: 题型:

[选修4-4:坐标系与参数方程]
在直角坐标系xoy中,直线l的参数方程为
x=
1
2
t
y=
2
2
+
3
2
t
(t为参数),若以直角坐标系xoy 的O点为极点,Ox为极轴,且长度单位相同,建立极坐标系,得曲线C的极坐标方程为ρ=2cos(θ-
π
4
).直线l与曲线C交于A,B两点,求|AB|.

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A.选修4-1:几何证明选讲
如图,△ABC的外接圆的切线AE与BC的延长线相交于点E,∠BAC的平分线与BC
交于点D.求证:ED2=EB•EC.
B.选修4-2:矩阵与变换
求矩阵M=
-14
26
的特征值和特征向量.
C.选修4-4:坐标系与参数方程
在以O为极点的极坐标系中,直线l与曲线C的极坐标方程分别是ρcos(θ+
π
4
)=
3
2
2
和ρsin2θ=4cosθ,直线l与曲线C交于点.A,B,C,求线段AB的长.
D.选修4-5:不等式选讲
对于实数x,y,若|x-1|≤1,|y-2|≤1,求|x-y+1|的最大值.

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(2013•辽宁)选修4-4:坐标系与参数方程
在直角坐标系xoy中以O为极点,x轴正半轴为极轴建立坐标系.圆C1,直线C2的极坐标方程分别为ρ=4sinθ,ρcos(θ-
π
4
)=2
2

(Ⅰ)求C1与C2交点的极坐标;
(Ⅱ)设P为C1的圆心,Q为C1与C2交点连线的中点,已知直线PQ的参数方程为
x=t3+a
y=
b
2
t3+1
(t∈R为参数),求a,b的值.

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选修4-4:
坐标系与参数方程在平面直角坐标系x0y中,曲线C1为x=acosφ,y=sinφ(1<a<6,φ为参数).
在以0为原点,x轴正半轴为极轴的极坐标中,曲线C2的方程为ρ=6cosθ,射线ι为θ=α,ι与C1的交点为A,ι与C2除极点外的一个交点为B.当α=0时,|AB|=4.
(1)求C1,C2的直角坐标方程;
(2)若过点P(1,0)且斜率为
3
的直线m与曲线C1交于D、E两点,求|PD|与|PE|差的绝对值.

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(2011•晋中三模)选修4-4:坐标系与参数方程选讲
在直角坐标系xoy中,曲线c1的参数方程为:
x=2cosθ
y=2sinθ
(θ为参数),把曲线c1上所有点的纵坐标压缩为原来的一半得到曲线c2,以O为极点,x正半轴为极轴建立极坐标系,直线l的极坐标方程为
2
ρcos(θ-
π
4
)=4

(1)求曲线c2的普通方程,并指明曲线类型;
(2)过(1,0)点与l垂直的直线l1与曲线c2相交与A、B两点,求弦AB的长.

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