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已知A、B、C是长轴长为4的椭圆上的三点,点A是长轴的一个顶点,BC过椭圆中心O,如图,且,|BC|=2|AC|.
(1)求椭圆的方程;
(2)如果椭圆上两点P、Q使∠PCQ的平分线垂直AO,则总存在实数λ,使,请给出证明.

【答案】分析:(1)以O为原点,OA所在的直线为x轴建立如图所示的直角坐标系,设所求椭圆的方程为:=4,由已知易得△AOC是等腰直角三角形,进而求出C点坐标,代入求出b2的值后,可得椭圆的方程.
(2)设直线PC的斜率为k,则直线QC的斜率为-k,联立PC与椭圆方程,结合C在椭圆上,求出求xP=,同理xQ=,代入斜率公式可得kPQ=,由对称性求出B点坐标,可得kAB=,即kPQ=kAB,即共线,再由向量共线的充要条件得到答案.
解答:解:(1)以O为原点,OA所在的直线为x轴建立如图所示的直角坐标系,
则A(2,0),设所求椭圆的方程为:=4(0<b<1),由椭圆的对称性知|OC|=|OB|,
=0得AC⊥BC,
∵|BC|=2|AC|,
∴|OC|=|AC|,
∴△AOC是等腰直角三角形,
∴C的坐标为(1,1),
∵C点在椭圆上
=4,
∴b2=,所求的椭圆方程为x2+3y2=4.
(Ⅱ)由于∠PCQ的平分线垂直OA(即垂直于x轴),
不妨设直线PC的斜率为k,则直线QC的斜率为-k,
直线PC的方程为:y=k(x-1)+1,直线QC的方程为y=-k(x-1)+1,
得:(1+3k2)x2-6k(k-1)x+3k2-6k-1=0(*)
∵点C(1,1)在椭圆上,
∴x=1是方程(*)的一个根,则其另一根为,设P(xP,yP),?Q(xQ,yQ),xP=,同理xQ=
kPQ=
而由对称性知B(-1,-1),又A(2,0),
∴kAB=
∴kPQ=kAB
共线,且≠0,即存在实数λ,使
点评:本题考查的知识点是椭圆的方程,直线与椭圆的综合应用,向量共线的充要条件,其中(2)综合了联立方程,设而不求,韦达定理,向量共线,斜率公式等诸多知识点,综合性强,运算强度大,属于难题.
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(2010•上虞市二模)已知A、B、C是长轴长为4的椭圆上的三点,点A是长轴的一个顶点,BC过椭圆中心O,如图,且
AC
BC
=0
,|BC|=2|AC|.
(1)求椭圆的方程;
(2)如果椭圆上两点P、Q使∠PCQ的平分线垂直AO,则总存在实数λ,使
PQ
AB
,请给出证明.

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AC
BC
=0
,|BC|=2|AC|.
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PQ
AB

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AC
BC
=0,|
BC
|=2|
AC
|

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