Question

7．讨论函数y=log_a|x-2|的单调性．

Answer 1

分析 令t=|x-2|=$\left\{\begin{array}{l}-x+2，x＜2\\ x-2，x＞2\end{array}\right.$，则内函数在（-∞，2）上为减函数，在（2，+∞）上为增函数，分类讨论外函数的单调性，结合复合函数“同增异减”的原则，可得复合函数的单调性．

解答 解：由|x-2|＞0得：x∈（-∞，2）∪（2，+∞），
令t=|x-2|=$\left\{\begin{array}{l}-x+2，x＜2\\ x-2，x＞2\end{array}\right.$，
则y=log_at，
当0＜a＜1时，y=log_at为减函数，
t=$\left\{\begin{array}{l}-x+2，x＜2\\ x-2，x＞2\end{array}\right.$在（-∞，2）上为减函数，在（2，+∞）上为增函数，
故函数y=log_a|x-2|在（-∞，2）上为增函数，在（2，+∞）上为减函数，
当a＞1时，y=log_at为增函数，
t=$\left\{\begin{array}{l}-x+2，x＜2\\ x-2，x＞2\end{array}\right.$在（-∞，2）上为减函数，在（2，+∞）上为增函数，
故函数y=log_a|x-2|在（-∞，2）上为减函数，在（2，+∞）上为增函数．

点评 本题考查的知识点是复合函数的单调性，对数函数的图象和性质，难度中档．