Question

16．已知函数f（x）=cosx+ax²-1，a∈R．
（1）求证：函数f（x）是偶函数；
（2）当a=1时，求函数f（x）在[-π，π]上的最大值及最小值；
（3）若对于任意的实数x恒有f（x）≥0，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）运用奇偶性的定义，结合诱导公式即可得证；
（2）当a=1时，函数f（x）在[-π，π]上的最大值及最小值，即为f（x）在[0，π]上的最大值及最小值，求出导数，求得单调性，即可得到最值；
（3）对于任意的实数x恒有f（x）≥0，即有cosx+ax²-1≥0，即ax²≥1-cosx≥0，显然a≥0，运用参数分离和二倍角公式可得2a≥（$\frac{sin\frac{x}{2}}{\frac{x}{2}}$）²，求出右边函数的范围，即可得到a的范围．

解答 解：（1）证明：函数f（x）=cosx+ax²-1，定义域为R，
f（-x）=cos（-x）+a（-x）²-1=cosx+ax²-1=f（x），
则f（x）为偶函数；
（2）当a=1时，函数f（x）在[-π，π]上的最大值及最小值，
即为f（x）在[0，π]上的最大值及最小值，
此时f（x）=cosx+x²-1，导数为f′（x）=2x-sinx，0≤x≤π，
令g（x）=2x-sinx，导数为2-cosx＞0，即g（x）递增，
即有g（x）≥g（0）=0，则f′（x）≥0，即f（x）在[0，π]递增，
x=0时，取得最小值0，x=π时，取得最大值π²-2，
则有函数f（x）在[-π，π]上的最大值π²-2，
最小值为0；
（3）对于任意的实数x恒有f（x）≥0，即有cosx+ax²-1≥0，
即ax²≥1-cosx≥0，显然a≥0，
x=0时，显然成立；由偶函数的性质，只要考虑x＞0的情况．
当x＞0时，a≥$\frac{1-cosx}{{x}^{2}}$=$\frac{2si{n}^{2}\frac{x}{2}}{{x}^{2}}$，即为2a≥（$\frac{sin\frac{x}{2}}{\frac{x}{2}}$）²，
由x＞0，则$\frac{x}{2}$=t＞0，考虑sint-t的导数为cost-1≤0，
即sint-t递减，即有sint-t＜0，即sint＜t，
则有$\frac{sint}{t}$＜1，故（$\frac{sin\frac{x}{2}}{\frac{x}{2}}$）²＜1，
即有2a≥1，解得a≥$\frac{1}{2}$．
则实数a的取值范围为[$\frac{1}{2}$，+∞）．

点评 本题考查导数的运用：求单调性和最值，同时考查函数的奇偶性的判断和运用，考查不等式恒成立问题的解法，属于中档题．