Question

8．设数列{a_n}的前n项和为S_n，则下列命题中正确的是（1），（2），（3）．（填写所有正确命题的编号）
（1）S_n=an²+bn（a，b∈R），则{a_n}为等差数列；（2）若S_n=1+（-1）ⁿ⁺¹，则{a_n}是等比数列；（3）{a_n}为等比数列，且$\underset{lim}{n→∞}$S_n=2012，则$\underset{lim}{n→∞}$a_n=0．

Answer 1

分析 对于（1），（2）运用数列的通项和求和的关系：），a₁=S₁，n＞1时，a_n=S_n-S_n-1，即可判断；
对于（3），由等比数列的求和公式和数列极限的定义和运算性质，即可判断．

解答 解：对于（1），a₁=S₁=a+b，
n＞1时，a_n=S_n-S_n-1=an²+bn-（a（n-1）²+b（n-1））=2an+b-2a，
对n=1也成立，则{a_n}为首项为a+b，公差为2a的等差数列；
对于（2），a₁=S₁=2，
n＞1时，a_n=S_n-S_n-1=1+（-1）ⁿ⁺¹-（1+（-1）ⁿ））=-2•（-1）ⁿ，
对n=1也成立，则{a_n}为首项为2，公比为-1的等比数列；
对于（3），由题意可得q不为1，由$\underset{lim}{n→∞}$S_n=2012，即为$\underset{lim}{n→∞}$$\frac{{a}_{1}（1-{q}^{n}）}{1-q}$=2012，
可得0＜|q|＜1，$\frac{{a}_{1}}{1-q}$=2012，
则$\underset{lim}{n→∞}$a_n=则$\underset{lim}{n→∞}$a₁q^n-1=$\underset{lim}{n→∞}$2012（1-q）•q^n-1=0成立．
故答案为：（1），（2），（3）．

点评 本题考查等差数列和等比数列的通项和求和公式的运用，考查数列极限的求法，属于中档题．