Question

已知F₁（-1，0），F₂（1，0），坐标平面上一点P满足：△PF₁F₂的周长为6，记点P的轨迹为C₁．抛物线C₂以F₂为焦点，顶点为坐标原点O．
（Ⅰ）求C₁，C₂的方程；
（Ⅱ）若过F₂的直线l与抛物线C₂交于A，B两点，问在C₁上且在直线l外是否存在一点M，使直线MA，MF₂，MB的斜率依次成等差数列，若存在，请求出点M的坐标，若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用△PF₁F₂的周长为6，结合椭圆的定义，可求C₁的方程；利用抛物线C₂以F₂为焦点，顶点为坐标原点O，可得C₂的方程；
（Ⅱ）设出直线方程与抛物线方程，利用直线MA，MF₂，MB的斜率依次成等差数列，即可求得结论．

解答：解：（Ⅰ）依题意可知，△PF₁F₂的周长为|PF₁|+|PF₂|+|F₁F₂|，由于|F₁F₂|=2，故|PF₁|+|PF₂|=4，
由于|PF₁|+|PF₂|＞|F₁F₂|，故点P的轨迹为C₁为以F₁，F₂为焦点的椭圆的一部分，且a=2，c=1，故b=

3

，
故C₁的方程为：

x2

4

+

y2

3

=1 (x≠±2)；C₂的方程为：y²=4x．…（5分）
（Ⅱ）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），M（x₀，y₀），设直线AB的方程为：x=my+1，kMA+kMB=

y0-y1

x0-x1

+

y0-y2

x0-x2

=2kMF2=

2y0

x0-1

，…（6分）
故

(y0-y1)(x0-my2-1)+(y0-y2)(x0-my1-1)

(x0-my1-1)(x0-my2-1)

=

2y0

x0-1

，
故-(y1+y2)(x0-1)2+my0(y1+y2)(x0-1)+2my1y2(x0-1)=2m2y0y1y2，…（8分）
由

x=my+1 y2=4x

，y²-4my-4=0，
故y₁+y₂=4m，y₁y₂=-4，…（10分）
故m（x₀+1）（x₀-my₀-1）=0，…（11分）
因为直线AB不经过点M，故x₀-my₀-1≠0，故m=0或x₀+1=0，…（12分）
当m=0时，C₁上除点(1，±

3

2

)外，均符合题意；…（13分）
当m≠0时，则当x₀=-1时，椭圆上存在两点M(-1，

3

2

)和M(-1，-

3

2

)都符合条件．…（14分）

点评：本题考查椭圆、抛物线的定义，考查椭圆的定义，考查直线与抛物线的位置关系，考查学生的计算能力，属于中档题．