Question

（2012•江西模拟）已知数列{a_n}中，a1=2，an+1=

2

an+1

，设bn=|

an-1

an+2

|，n∈N^*
（1）求数列{b_n}的通项公式；
（2）设数列{b_n}的前n项的和为S_n，求证：bnSn≤

1

16

（n∈N^*）
（3）令cn=

1

bnSn

，若数列{c_n}的前n项的和为T_n，求证：Tn≤

16

3

(4n-1)（n∈N^*）

Answer 1

分析：（1）由an+1=

2

an+1

，bn=|

an-1

an+2

|，知b_n+1=|

an+1-1

an+1+2

|=|

2 an+1 -1

2 an+1 +2

|=

1

2

|

an-1

an+2

|，由此能推导出bn=(

1

2

)n+1．
（2）由b1=

1

4

，q=

1

2

，知Sn=

1 4 (1- 1 2 n )

1- 1 2

=

1

2

(1-

1

2 n

)，由此能证明bnSn≤

1

16

（n∈N^*）．
（3）由bnSn≤

1

16

（n∈N^*），知cn=

1

bnSn

≤(

1

bn

)2≤4n+1，由此能够证明Tn≤

16

3

(4n-1)．

解答：解：（1）∵an+1=

2

an+1

，bn=|

an-1

an+2

|，
∴b_n+1=|

an+1-1

an+1+2

|
=|

2 an+1 -1

2 an+1 +2

|
=|

2-an-1

2+2an+2

|
=

1

2

|

an-1

an+2

|，
∴bn+1=

1

2

bn，
∵a₁=2，∴b1=|

2-1

2+2

| =

1

4

，
故{b_n}是首项为

1

4

，公比为

1

2

的等比数列，
∴bn=(

1

2

)n+1．
（2）∵{b_n}是首项为

1

4

，公比为

1

2

的等比数列，
即b1=

1

4

，q=

1

2

，
∴Sn=

1 4 (1- 1 2 n )

1- 1 2

=

1

2

(1-

1

2 n

)，
∴b_nS_n=(

1

2

)n+1•

1

2

(1-

1

2 n

)=

1

4

[1-(

1

2

)n]•(

1

2

)n≤

1

16

．
（3）∵bnSn≤

1

16

（n∈N^*），
∴cn=

1

bnSn

≤(

1

bn

)2≤4n+1，
∴Tn≤

16

3

(4n-1)．

点评：本题考查数列、不等式知识，考查化归与转化、分类与整合的数学思想，培养学生的抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力和创新意识．