Question

已知一个圆锥的底面半径为R，高为h，在圆锥内部有一个高为x的内接圆柱．
（1）画出圆锥及其内接圆柱的轴截面；
（2）求圆柱的侧面积；
（3）x为何值时，圆柱的侧面积最大？最大侧面积为多少？

Answer 1

分析：（1）利用圆锥画出圆锥及其内接圆柱的轴截面；
（2）利用条件结合圆柱的侧面积公式求圆柱的侧面积；
（3）利用二次函数的图象和性质求圆柱的侧面积的最大值．

解答：解：（1）如下图：
 

（2）设圆柱的底面半径为r，
则

r

R

=

h-x

h

，
∴r=

h-x

h

•R=R-

x

h

•R．
∴圆柱侧面积S=2πr•x=2π(R-

x

h

•R)x=-

2πR

h

x2+2πRx（0＜x＜h）．
（3）由（2）知：圆柱侧面积S=-

2πR

h

x2+2πRx=-

2πR

h

(x-

h

2

)2+

πRh

2

（0＜x＜h）
∴当x=

h

2

时，圆柱侧面积最大，最大侧面积为

πRh

2

．

点评：本题主要考查圆锥和圆柱的侧面积的计算，利用一元二次函数的单调性求侧面积的最值是解决本题的关键．