Question

在边长为2的正方体ABCD-A′B′C′D′中，E是BC的中点，F是DD′的中点
（1）求证：CF∥平面A′DE
（2）求二面角E-A′D-A的平面角的余弦值．

Answer 1

证明（1）：分别以DA，DC，DD'为x轴，y轴，z轴
建立空间直角坐标系，
则A'（2，0，2），E（1，2，0），
D（0，0，0），C（0，2，0），F（0，0，1），…（2分）
则

DA′

=(2，0，2)，

DE

=(1，2，0)，
设平面A'DE的法向量是

n

=(a，b，c)，
则

n • DA′ =2a+2c=0 n • DE =a+2b=0

，取

n

=(-2，1，2)，…（4分）

CF

=(0，-2，1)，∵

CF

•

n

=-2+2=0，∴

CF

⊥

n

，
所以，CF∥平面A'DE．…（6分）
（2）由正方体的几何特征可得

DC

=(0，2，0)是面AA'D的法向量
又由（1）中向量

n

=(-2，1，2)为平面A'DE的法向量
故二面角E-A'D-A的平面角θ满足；
cosθ=

DC • n

| DC || n |

=

1

3

即二面角E-A'D-A的平面角的余弦值为

1

3

…（8分）