Question

已知A，B，C是长轴长为4的椭圆上的三个点，点A是长轴的一个顶点，BC过椭圆中心O，如图，且＝0，|BC|＝2|AC|．

(1)求椭圆的方程；

(2)如果椭圆上两点P，Q使∠PCQ的平分线垂直AO，则是否存在实数λ，使＝λ？请说明理由．

Answer 1

答案：
解析：

解　　(1)如图，设所求椭圆的方程为：＝1(0＜b＜，且A(2，0)，由椭圆的对称性知|OC|＝|OB|，由＝0得AC⊥BC． 　　∵|BC|＝2|AC|，∴|OC|＝|AC|，∴△AOC是等腰直角三角形，∴C的坐标为(1，1)． 　　∵C点在椭圆上， 　　∴＝1，∴b2＝，所求的椭圆方程为 ＝1． 　　(2)由于∠PCQ的平分线垂直OA(即垂直于x轴)，不妨设直线PC的斜率为k，则直线QC的斜率为－k，直线PC的方程为：y＝k(x－1)＋1，直线QC的方程为y＝－k(x－1)＋1． 　　 　　∵点C(1，1)在椭圆上，∴x＝1是方程(*)的一个根，则其另一根为．设P(xP，yP)，Q(xQ，yQ)，则方程(*)的另一根就是P点横坐标xP＝． 　　同理xQ＝．由此可算出 　　kPQ＝． 　　而由对称性知B(－1，－1)，又A(2，0)， 　　∴kAB＝． 　　∴kPQ＝kAB，∴与共线，且≠0，即存在实数λ，使＝λ．