Question

11．如图，BD是四边形ABCD的外接圆⊙O的直径，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点，已知∠ABD=∠CBD=60°，PA=BD=2．
（1）求证：CE∥平面PAB；
（2）求平面PCE与平面BCD所成锐角二面角的余弦值．

Answer 1

分析 （1）证明：OE∥平面PAB，OC∥平面PAB，可得平面OCE∥平面PAB，即可证明CE∥平面PAB；
（2）利用三角形的面积比，即可求平面PCE与平面BCD所成锐角二面角的余弦值．

解答 （1）证明：因为E为PD的中点，O为BD的中点，
所以OE∥PB，
因为OE?平面PAB，PB?平面PAB，
所以OE∥平面PAB
因为∠ABD=∠CBD=60°，
所以∠ABD=∠COB=60°，
所以AB∥OC，
因为OC?平面PAB，AB?平面PAB，
所以OC∥平面PAB，
因为OC∩OE=O，
所以平面OCE∥平面PAB
因为CE?平面OCE，
所以CE∥平面PAB；
（2）解：由题意，AB=1，PA=2，所以PB=$\sqrt{3}$，所以OE=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，PC=2，PE=CE=$\frac{\sqrt{7}}{2}$，
所以${S}_{△PCE}=\frac{1}{2}×2×\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
因为S_△BOC=$\frac{\sqrt{3}}{4}$，
所以平面PCE与平面BCD所成锐角二面角的余弦值为$\frac{\frac{\sqrt{3}}{4}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}$=$\frac{1}{2}$．

点评 本题是中档题，考查棱锥中直线与平面的位置关系，二面角的求法，考查空间想象能力，计算能力，转化思想的应用．