Question

解答题： 如图，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，AB＝，AF＝1，M是线段EF的中点． (1) 求证AM//平面BDE； (2) 求二面角A- DF- B的大小； (3) 试在线段AC上确定一点P，使得PF与BC所成的角是60°

Answer 1

答案：
解析：

(1)	方法一：解：记AC与BD的交点为O，连接OE， ∵O、M分别是AC、EF的中点，ACEF是矩形， ∴四边形AOEM是平行四边形，∴AM∥OE． ∵平面BDE，平面BDE，∴AM∥平面BDE． 　　方法二：建立如图所示的空间直角坐标系．
(2)	方法一：在平面AFD中过A作AS⊥DF于S，连结BS， ∵AB⊥AF，AB⊥AD， ∴AB⊥平面ADF，∴AS是BS在平面ADF上的射影， 由三垂线定理得BS⊥DF． ∴∠BSA是二面角A—DF—B的平面角． 在RtΔASB中，∴ ∴二面角A—DF—B的大小为60o． 　　方法二：∵AF⊥AB，AB⊥AD，AF∴AB⊥平面ADF． ∴为平面DAF的法向量． ∵·＝(·＝0， ∴·＝(·＝0得 ⊥，⊥，∴为平面BDF的法向量． ∴cos＜，＞＝∴与的夹角是60o，即所求二面角A—DF—B的大小是60o．
(3)	方法一：解：设CP＝t(0≤t≤2)，作PQ⊥AB于Q，则PQ∥AD， ∵PQ⊥AB，PQ⊥AF，， ∴PQ⊥平面ABF，平面ABF，∴PQ⊥QF． 在RtΔPQF中，∠FPQ＝60o，PF＝2PQ． ∵△PAQ为等腰直角三角形，∴又∵ΔPAF为直角三角形， ∴，∴ 所以t＝1或t＝3(舍去)即点P是AC的中点． 　　方法二：设P(t，t，0)(0≤t≤)得 ∴＝(，0，0)又∵和所成的角是60o． ∴解得或(舍去)，