Question

【题目】如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为菱形，∠BAD=60°，Q为AD的中点，PA=PD=AD=2
（1）点M在线段PC上，PM=tPC，试确定t的值，使PA∥平面MQB；
（2）在（1）的条件下，若平面PAD⊥平面ABCD，求二面角M﹣BQ﹣C的大小．

Answer 1

【答案】
（1）解：当t= 时，PA∥平面MQB

下面证明：若PA∥平面MQB，连AC交BQ于N

由AQ∥BC可得，△ANQ∽△BNC，

∴ …

PA∥平面MQB，PA平面PAC，

平面PAC∩平面MQB=MN，

∴PA∥MN…

即：PM= PC∴t=

（2）解：由PA=PD=AD=2，Q为AD的中点，则PQ⊥AD．．

又平面PAD⊥平面ABCD，所以PQ⊥平面ABCD，连BD，

四边形ABCD为菱形，

∵AD=AB，∠BAD=60°△ABD为正三角形，

Q为AD中点，∴AD⊥BQ

以Q为坐标原点，分别以QA、QB、QP所在的直线为

x，y，z轴，建立如图所示的坐标系，则各点坐标为

A（1，0，0），B（0， ，0），Q（0，0，0），P（0，0， ）

设平面MQB的法向量为 ，可得

而PA∥MN∴ ，

取z=1，解得

取平面ABCD的法向量 设所求二面角为θ，

则 故二面角M﹣BQ﹣C的大小为60°…

【解析】（1）当t= 时，PA∥平面MQB，若PA∥平面MQB，连AC交BQ于N，根据线面平行得到PA∥MN，从而 ，即PM= PC，从而求出t的值；（2）以Q为坐标原点，分别以QA、QB、QP所在的直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，先求出平面MQB的法向量 ，取平面ABCD的法向量 设所求二面角为θ，根据公式 即可求出二面角M﹣BQ﹣C的大小．
【考点精析】通过灵活运用直线与平面平行的判定，掌握平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行；简记为：线线平行，则线面平行即可以解答此题．