Question

一个计算装置有两个数据入口Ⅰ、Ⅱ和一个运算结果输出口Ⅲ，当Ⅰ、Ⅱ分别输入正整数m、n时，
输出结果记为f（m，n），且计算装置运算原理如下：
①若Ⅰ、Ⅱ分别输入1，则f（1，1）=1；
②若Ⅰ输入固定的正整数，Ⅱ输入的正整数增大1，则输出结果比原来增大3；
③若Ⅱ输入固定的正整数n，Ⅰ输入正整数增大1，则输出结果为原来值的3倍．
则f（m，1）=

 

，满足f（m，n）=2010的平面上的点（m，n）的个数是

 

．

Answer 1

分析：根据Ⅰ、Ⅱ分别输入正整数m、n时，输出结果记为f（m，n）和③，令n=1时，有f（m，1）=3f（m-1，1），可得数列{f（m，1）}是等比数列，因此可求得其通项公式f（m，1）=；由②可得f（m，n）=f（m，n-1）+3，可得数列{f（m，n）}是以3^m-1为首项，3为公差的等差数列，因此可求f（m，n）的通项公式，可解足f（m，n）=2010的平面上的点（m，n）的个数．

解答：解：（1）f（m，1）=3f（m-1，1）=3²f（m-2，1）=…═3^m-1f（1，1）=3^m-1
（2）f（m，n）=3^m-1+3（n-1）=2010?3^m-2+n-1=670=3²²³+1①
其中，

m-2≥0 m-2≤223

∴

m≥2 m≤225

∴2≤m≤225，整数m的值有224种取法
为确定点（m，n），由①知，确定了m的值，则有唯一的整数n符合题意
故点（m，n）的个数为C₂₂₄¹=224个点．
故答案为3^m-1，224．

点评：考查学生的阅读能力，和抽象概括能力，难点从题意构造等差、等比数列，信息量较大，题目立意新，是好题，属中档题．