Question

在直三棱柱A₁B₁C₁-ABC中，AC⊥BC，D为AB中点，CB=1，AC=

3

，异面直线C₁D与A₁B₁所成角大小为arccos

1

4

．
（1）求三棱柱A₁B₁C₁-ABC的体积；
（2）求二面角D-BC₁-C的大小．

Answer 1

分析：（1）建立空间直角坐标系，求出各顶点的坐标，求出棱柱底面面积和高，代入棱柱体积公式后，可得答案．
（2）求出是平面BCC₁的一个法向量和平面BDC₁的一个法向量，代入向量夹角公式，可得二面角D-BC₁-C的平面角的余弦值，进而可得二面角D-BC₁-C的大小．

解答：解：（1）如图建立空间直角坐标系
设AA₁=a，则A（

3

，0，0），B（0，1，0），D（

3

2

，

1

2

，0），C₁（0，0，a）
∴

A1B1

=

AB

=（-

3

，1，0），

DC1

=(-

3

2

，-

1

2

，a)
∴cos＜

A1B1

，

DC1

＞=

3 2 - 1 2

2× 1+a2

=

1

4

，
解得a=

3

即棱柱的高AA₁=

3

∴三棱柱A₁B₁C₁-ABC的体积V=

1

2

×CA×CB×AA₁=

3

2

（2）显然，

n1

=(1，0，0)是平面BCC₁的一个法向量，
设

n2

=(m，n，1)为平面BDC₁的一个法向量，
∵

BC1

=(0，-1，

3

)，

BD

=(

3

2

，-

1

2

，0)
∴

n2 • BD = 3 2 m- 1 2 n=0 n2 • BC1 =-n+ 3

解得

m=1 n= 3

∴

n1

=(1，

3

，1)
cos＜

n1

，

n2

＞=

1

1× 5

=

5

5

所以二面角D-BC₁-C的大小为arccos

5

5

点评：本题考查的知识点是二面角的平面角及求法，棱柱的体积公式，其中建立空间坐标系，将空间夹角问题转化为向量问题是解答本题的关键．