Question

如图所示，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，侧面A₁ABB₁和BCC₁B₁是两个全等的正方形，AC₁⊥平面A₁DB，D为AC的中点．
（1）求证：平面A₁ABB₁⊥平面BCC₁B₁；
（2）求证：B₁C∥平面A₁DB．

Answer 1

分析：（1）欲证平面A₁ABB₁⊥平面BCC₁B₁，即证平面内一直线与另一平面垂直，根据直线与平面垂直的判定定理证得B₁C₁⊥平面A₁ABB₁，再根据面面垂直的判定定理得证；
（2）由（I）知BC，BB₁，BA两两垂直，如图以B为原点建立空间直角坐标系B-xyz，设正方形边长为1，求出平面A₁DB的一个法向量，只需计算该法向量与

B1C

的数量积是否为零即可．

解答：证明：（1）∵AC₁⊥平面A₁DB，A₁B?平面A₁DB，
∴AC₁⊥A₁B，又在正方形A₁ABB₁中，A₁B⊥AB₁，AC₁∩AB₁=A，
∴A₁B⊥面AC₁B₁，又B₁C₁?面AC₁B₁，
∴A₁B⊥B₁C₁，
又∵在正方形BCC₁B₁中有，B₁C₁⊥BB₁，又BB₁∩A₁B=B，
∴B₁C₁⊥平面A₁ABB₁，B₁C₁?平面B₁BCC₁，
所以平面A₁ABB₁⊥平面BCC₁B₁．
（2）由（I）知BC，BB₁，BA两两垂直，
如图以B为原点建立空间直角坐标系B-xyz，
设正方形边长为1，则C（1，0，0），C₁（1，1，0），B₁（0，1，0），A₁（0，1，1），A（0，0，1）
D（

1

2

，0，

1

2

），
由AC₁⊥平面A₁DB，得平面A₁DB的法向量为

n

=

AC1

=(1，1，-1)，
∵

B1C

=(1，-1，0)，
∴

B1C

•

n

=(1，-1，0)•(1，1，-1)=1-1+0=0，
又B₁C?平面A₁DB，
∴B₁C∥平面A₁DB．

点评：本题主要考查了平面与平面垂直的判定，以及直线与平面平行的判定，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，属于基础题．