Question

）如图，椭圆：，、、、为椭圆的顶点

（Ⅰ）若椭圆上的点到焦点距离的最大值为，最小值为，求椭圆方程；

（Ⅱ）已知:直线相交于，两点（不是椭圆的左右顶点），并满足 试研究：直线是否过定点？ 若过定点，请求出定点坐标，若不过定点，请说明理由

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ） （Ⅱ）直线过定点，定点坐标为 

【解析】

试题分析：（Ⅰ）由已知得：，解这个方程组求出a、c即得椭圆的标准方程

（Ⅱ）将直线方程与椭圆的方程联立，

将直线方程代入椭圆方程得：

用韦达定理找到点，的坐标与k、m的关系

再由可得A、B的坐标间的一个关系式，由此消去得m、k之间的关系式，用此关系式将直线的方程中的参数m或k换掉一个，由此即可看出直线是否恒过一个定点 

试题解析：（Ⅰ）由已知与（Ⅰ）得：，，

，， 

椭圆的标准方程为    4分

（Ⅱ）设，，

联立

得，

又，

因为椭圆的右顶点为，

，即，

，

，

 

解得：

，，且均满足，

当时，的方程为，直线过定点，与已知矛盾；

当时，的方程为，直线过定点 

所以，直线过定点，定点坐标为 

考点：1、椭圆的方程；2、直线与圆锥曲线的位置关系