Question

15．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别是a，b，c，且角A、B、C成等差数列，求证：$\frac{1}{a+b}$+$\frac{1}{b+c}$=$\frac{3}{a+b+c}$．

Answer 1

分析 由角A、B、C成等差数列，可得B=60°，由余弦定理b²=c²+a²-2cacosB，整理可得：c²+a²=ac+b²，用分析法即可证明．

解答 （本小题12分）
证明：（分析法） 要证 $\frac{1}{a+b}$+$\frac{1}{b+c}$=$\frac{3}{a+b+c}$，
需证：$\frac{a+b+c}{a+b}$+$\frac{a+b+c}{b+c}$=3，
即证：c（b+c）+a（a+b）=（a+b）（b+c），
即证：c²+a²=ac+b²，
因为△ABC中，角A、B、C成等差数列，所以B=60°，由余弦定理b²=c²+a²-2cacosB，
即b²=c²+a²-ca 所以c²+a²=ac+b²，
因此 $\frac{1}{a+b}$+$\frac{1}{b+c}$=$\frac{3}{a+b+c}$．

点评 本题主要考查了余弦定理，等差数列的性质，考查了分析法证明的应用，属于基本知识的考查．