Question

（本小题满分14分）

设是定义在[-1，1]上的偶函数，的图象与的图象关于直线对称，且当x∈[ 2，3 ] 时， 2²²²3³．

（1）求的解析式；

（2）若在上为增函数，求的取值范围；

（3）是否存在正整数，使的图象的最高点落在直线上？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

,a>6;存在a = 8满足题设

解析:

解：（1）当x∈[-1，0]时，2-x∈[2，3]，f(x)=g(2-x)= -2ax+4x³；当x∈时，f(x)=f(-x)=2ax-4x³，

       ∴………………………………………4分

       （2）由题设知，＞0对x∈恒成立，即2a-12x²＞0对x∈恒成立，于是，a＞6x²，从而a＞(6x²)_max=6．………………………8分

       （3）因f(x)为偶函数，故只需研究函数f(x)=2ax-4x³在x∈的最大值．

             令=2a-12x²=0，得．…10分 若∈，即0＜a≤6，则

             ，

             故此时不存在符合题意的；

          若＞1，即a＞6，则在上为增函数，于是．

           令2a-4=12，故a=8．    综上，存在a = 8满足题设．………………13分