Question

8．已知cos（α+$\frac{π}{6}$）=$\frac{3}{5}$，α为锐角．
（1）则cos（2α+$\frac{π}{3}$）=-$\frac{7}{25}$；
（2）若关于x的方程2cos（2x+α）+1=m在[0，$\frac{π}{2}$]上有且仅有2个不相等的实根，则实数m的取值范围是（-1，$\frac{1-3\sqrt{3}}{5}$]．

Answer 1

分析 （1）根据二倍角公式计算即可，
（2）先根据同角的关系和两角差的余弦公式求出cosα=$\frac{3\sqrt{3}+4}{10}$，由x的方程2cos（2x+α）+1=m在[0，$\frac{π}{2}$]上有且仅有2个不相等的实根，得到分别画出y=cos（2x+α）与y=$\frac{1}{2}$（m-1）的图象只有两个不同的交点，即可求出m的取值范围．

解答 解：（1）cos（2α+$\frac{π}{3}$）=2cos²（α+$\frac{π}{6}$）-1=2×$\frac{9}{25}$-1=-$\frac{7}{25}$，
（2）∵cos（α+$\frac{π}{6}$）=$\frac{3}{5}$，α+$\frac{π}{6}$∈（0，$\frac{2π}{3}$），
∴sin（α+$\frac{π}{6}$）=$\frac{4}{5}$，
∴cosα=cos[（α+$\frac{π}{6}$）-$\frac{π}{6}$]=cos（α+$\frac{π}{6}$）cos$\frac{π}{6}$+sin（α+$\frac{π}{6}$）sin$\frac{π}{6}$=$\frac{3\sqrt{3}+4}{10}$，
∵x∈[0，$\frac{π}{2}$]，
当x=$\frac{π}{2}$时，cosα=cos（π+α）=-cosα=-$\frac{3\sqrt{3}+4}{10}$，
∵2cos（2x+α）+1=m，
∴cos（2x+α）=$\frac{1}{2}$（m-1），
分别画出y=cos（2x+α）与y=$\frac{1}{2}$（m-1）的图象，
∵在[0，$\frac{π}{2}$]上有且仅有2个不相等的实根，
∴-1＜m≤$\frac{1-3\sqrt{3}}{5}$，
故m的取值范围为（-1，$\frac{1-3\sqrt{3}}{5}$]
故答案为（1）-$\frac{7}{25}$，（2）（-1，$\frac{1-3\sqrt{3}}{5}$]

点评 本题考查了同角三角函数的关系，二倍角公式，两角差的余弦公式，以及余弦函数的图象和性质，属于中档题．