Question

在平面直角坐标系xOy中，曲线y=x²+2x-3与坐标轴的交点都在圆C上．
（Ⅰ）求圆C的方程；
（Ⅱ）若圆C被直线x-y+a=0截得的弦长为2

3

，求a的值．

Answer 1

（I）曲线y=x²-2x-3与y轴的交点为A（0，-3），与x轴的交点为B（1，0）、D（-3，0）．
∵线段BD的垂直平分线为x=-1，
∴设圆C的圆心为（-1，b），
由|AC|=|BC|，得（0+1）²+（-3-b）²=（1+1）²+b²，解得b=-1．
由此可得圆心C（-1，-1），
圆C的半径r=

(1-0)2+(-1+3)2

=

5

，
因此，圆C的方程为（x+1）²+（y+1）²=5．
（II）∵直线x-y+a=0被圆C截得的弦长为2

3

，
∴设点C到直线x-y+a=0的距离为d，
根据垂径定理得2

r2-d2

=2

3

，
即

5-d2

=

3

，解得d=

2

（舍负）．
∴点C（-1，-1）到直线x-y+a=0的距离为

|-1+1+a|

2

=

2

，
解得a=±2．