Question

（2011•宁德模拟）如图，矩形ABCD所在的平面与平面AEB垂直，且∠BAE=120°，AE=AB=4，AD=2，F，G，H分别为BE，AE，BC的中点．
（Ⅰ） 求证：直线DE与平面FGH平行；
（Ⅱ）若点P在直线GF上，且二面角D-BP-A的大小为

π

4

，试确定点P的位置．

Answer 1

分析：（Ⅰ）要证明线与面平行，可以先找线与线平行，即在平面FGH内找一条直线与直线DE平行，故取AD得中点M，连接GM即可
（Ⅱ）建立空间直角坐标系，写出相关点的坐标，利用法向量表示二面角的大小，特别注意利用点P在直线GF上的特点，设出动点P的坐标．

解答：解：（Ⅰ）证明：取AD的中点M，连接MH，MG．
∵G，H，F分别是AE，BC，BE的中点，
∴MH∥AB，GF∥AB，
∴MH∥GF，即GFHM四点共面
又由M，G是中点，可得MG∥DE
因为DE?平面MGFH，MG?平面MGFH，
∴DE∥平面MGFH，即直线DE与平面FGH平行．
（Ⅱ）解：如图，在平面ABE内，过A作AB的垂线，记为AP，则AP⊥平面ABCD．
以A为原点，AP、AB、AD所在的直线分别为x轴，y轴，z轴建立建立空间直角坐标系A-xyz．A(0 ，0 ，0) ，B(0 ，4 ，0) ，D(0 ，0 ，2) ，E(2

3

，-2，0) ，G(

3

，-1，0)，F(

3

，1，0)．
∴

GF

=(0 ，2 ，0)，

BD

=(0 ，-4，2)，

BG

=(

3

 ，-5，0)． 
设

GP

=λ

GF

=(0 ，2λ ，0)，则

BP

=

BG

+

GP

=(

3

 ，2λ-5，0)．
设平面PBD的法向量为

n

₁=（x，y，z），
则

n 1• BP =0 n 1• BD =0

∴

3 x+(2λ-5)y=0 -4y+2z=0.

取y=

3

，得z=2

3

，x=5-2λ，
∴

n

1=(5-2λ ，

3

 ，2

3

)．
又平面ABP的法向量为

n

₂=（0，0，1），
∴cos?

n

1，

n

2＞=

n1• n 2

| n 1|•| n 2|

=

2 3

(5-2λ)2+3+12

=

2

2

解得λ=1或4．
故

GP

=

GF

或

GP

=4

GF

∴P(

3

，1，0)或P(

3

，7，0)

点评：本题主要考查直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系等基础知识，考查空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想．