Question

已知数列{

an

λn

-(

3

λ

)n}是等差数列，公差为2，a₁，=11，a_n+1=λa_n+b_n．
（I）用λ表示b_n；
（II）若

lim

n→∞

bn+1

bn

=4，且κ≥3，求λ的值；
（III）在（II）条件下，求数列{a_n}的前n项和．

Answer 1

分析：（I）根据所给的数列是一个等差数列且公差是2，应用等差数列的定义，写出连续两项之差的关系，得到数列{a_n}的递推式，代入定义的新数列，整理成最简形式．
（II）本题以数列为条件，根据两项的比值的极限是4，写出极限式，检验变量λ的值，求出结果．
（III）这是一个求数列的和的问题，写出数列的通项，发现需要分组来解，分组后一个用等比数列前n项和，一个用错位相减，这是一个典型的数列求和问题．

解答：解：（I）因为数列{

an

λn

-(

3

λ

)n}是等差数列，公差为2所以

an+1

λn+1

-

3n+1

λn+1

=

an

λn

-

3n

λn

+2?an+1=λ•an+3n+1+2λn+1-λ•3n
∴b_n=3ⁿ⁺¹+2λⁿ⁺¹-λ•3ⁿ=2λⁿ⁺¹+3ⁿ（3-λ）??
（II）又

lim

n→∞

bn+1

bn

=

lim

n→∞

2λn+2+3n+1(3-λ)

2λn+1+3n(3-λ)

当λ=3时，

lim

n→∞

bn+1

bn

═λ=3，
与已知矛盾，
∴λ≠3
当λ＞3时，

lim

n→∞

bn+1

bn

=

lim

n→∞

2λ+(3-λ)( 3 λ )n+1

2+ 3-λ λ ( 3 λ )n

=λ=4
∴λ=4
（III）由已知当λ=4时，

an

4n

=

3n

4n

=

11-3

4

+2(n-1)=2n?an=2n•4n+3n
令An=2×4+4×42+6×43++2n×4n=

8

9

+

6n-2

9

×4n+1Bn=3+32+33++3n=

3n+1

2

-

3

2

∴数列{a_n}的前n项和Sn=An+Bn=

8

9

+

6n-2

9

×4n+1+

3n+1

2

-

3

2

=-

11

18

+

3n+1

2

+

6n-2

9

×4n+1

点评：有的数列可以通过递推关系式构造新数列，构造出一个我们较熟悉的数列，从而求出数列的通项公式．这类问题考查学生的灵活性，考查学生分析问题及运用知识解决问题的能力，这是一种化归能力的体现．