Question

设P为圆C₁：x²+y²=2上的动点，过P作x轴的垂线，垂足为Q，点M满足：

2

MQ

=

PQ

．
（Ⅰ）求点M的轨迹C₂的方程；
（Ⅱ）过直线x=2上的点T作圆C₁的两条切线，设切点分别为A，B，若直线AB与点M的轨迹C₂交于C，D两点，若|

CD

|=λ|

AB

|，求实数λ的取值范围．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：向量与圆锥曲线

分析：（Ⅰ）设出M，P，Q的坐标，由

2

MQ

=

PQ

把P的坐标用M的坐标表示，代入圆C₁：x²+y²=2可得点M的轨迹C₂的方程；
（Ⅱ）设点T（2，t），则切点弦AB的方程为2x+ty=2．再设出C（x₁，y₁），D（x₂，y₂），求出圆心O到AB的距离．进一步求得|AB|，联立直线AB的方程与椭圆方程，化为关于y的一元二次方程后写出根浴系数关系，由弦长公式求出|CD|，得到

1

λ

=

(t2+8) t2+2

(t2+4) t2+4

．换元后利用导数求解答案．

解答： 解：（Ⅰ）设点M（x，y），P（x₁，y₁），Q（x₁，0），
则

MQ

=(x1-x，-y)，

PQ

=(0，-y1)，
由

2

MQ

=

PQ

，知点P(x，

2

y)，
∵点P在圆C1：x2+y2=2上，
∴x²+2y²=2，即点M的轨迹方程是

x2

2

+y2=1；
（Ⅱ）设点T（2，t），则切点弦AB的方程为2x+ty=2．
设点C（x₁，y₁），D（x₂，y₂），
则圆心O到AB的距离d=

2

4+t2

．
故|AB|=2

r2-d2

=2

2t2+4 t2+4

．
由

2x+ty=2 x2+2y2=2

得（t²+8）y²-4ty-4=0，
则y1+y2=

4t

t2+8

，y1y2=-

4

t2+8

，
故|CD|=

1+ t2 4

|y1-y2|=

2 t2+4 2t2+8

t2+8

，
从而

1

λ

=

(t2+8) t2+2

(t2+4) t2+4

．
设t²+4=s，则s≥4．
于是

1

λ

=

s3+6s2-32 s3

=

1+ 6 s - 32 s3

，
设

1

s

=m，m∈(0，

1

4

]，
于是

1

λ

=

1+6m-32m3

．
设f（m）=1+6m-32m³，
则f′（m）=6-96m²，
令f′（m）=0，得m=

1

4

．于是f（m）在(0，

1

4

]上单调递增，
∴f(m)∈(1，

2

]，
即实数λ的取值范围是[

2

2

，1)．

点评：本题考查了椭圆方程的求法，考查了平面向量在解题中的运用，考查了利用导数求函数的最值，解答此题的关键在于灵活变形，然后进行适当的换元，考查了学生的运算能力，是压轴题．