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已知函数y=lg(1+tx-x2)的定义域为M,其中t∈R.
(1)若t=
3
2
,求函数f(x)=3•4x-2x+2在M上的最小值及相应的x的值;
(2)若对任意x1,x2∈M函数g(x)=
2x-t
x2+1
满足|g(x1)-g(x2)|<3,求t的取值范围.
分析:(1)t=
3
2
时,求出函数y的定义域M,判定f(x)在M上的单调性与最值情况,求出结果;
(2)利用导函数判定函数g(x)在M上的单调性,求出|g(x1)-g(x2)|的表达式,根据题中条件求出t的取值范围.
解答:解:(1)t=
3
2
时,函数y=lg(1+tx-x2)的定义域为1+
3
2
 x-x2>0
,解得-
1
2
<x<2
,即M=(-
1
2
,  2)

∵f(x)=3•4x-2x+2=3•(2x2-4•2x
令2x=t,则
2
2
<t<4
f(x)=g(t)=3t2-4t=3(t-
2
3
)2+
4
3

∴g(t)在(
2
2
,  4)
上是增函数.
∴g(t)在(
2
2
,  4)
上无最小值,即f(x)在M上无最小值.
(2)∵函数g(x)=
2x-t
x2+1
,∴g′(x)=
2(1+tx-x2)
(x2+1)2
>0

∴g(x)在M上是增函数; 
设1+tx-x2=0的两根为α,β(α<β),则α+β=t,αβ=-1,M=(α,β);
g(β)-g(α)=
2β-t
β2+1
-
2α-t
α2+1

=
(2β-t)(α2+1)-(2α-t)(β2+1)
(α2+1)(β2+1)

=
2αβ(α-β)-2(α-β)-t(α-β)(α+β)
(αβ)2+(α+β)2-2αβ+1

=
-4(α-β)-t2(α-β)
4+t2

=β-α
=
(α+β)2-4αβ

=
t2+4

由题意知,要使原不等式恒成立,只需
t2+4
<3

解得t∈[-
5
,   
5
]

∴t的取值范围是[-
5
5
].
点评:本题考查了复合函数的定义域与值域、单调性等综合性知识,是容易出错的题目.
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