Question

已知一个等差数列{a_n}前10项的和是

125

7

，前20项的和是-

250

7

（1）求这个等差数列的前n项和S_n．
（2）求使得S_n最大的序号n的值．

Answer 1

分析：（1）设等差数列{a_n}的公差为d，由已知建立方程组可解d和a₁，代公式可求S_n；
（2）由（1）可知数列的通项公式，可得等差数列{a_n}的前7项均为正，第8项为0，从第9项开始全为负值，故可得答案．

解答：解：（1）设等差数列{a_n}的公差为d，由已知S₁₀=

125

7

，S₂₀=-

250

7

．
由等差数列的求和公式可得：S₁₀=10a₁+

10×9

2

d=

125

7

   ①
S₂₀=20a₁+

20×19

2

d=-

250

7

  ②，由①②解得d=-

5

7

，a₁=5
故a_n=5+（n-1）（-

5

7

）=

40-5n

7

，
所以前n项和S_n=

n(a1+an)

2

=

75n-5n2

14

（2）由（1）可知，a_n=

40-5n

7

，令

40-5n

7

≤0解得n≥8，
故差数列{a_n}的前7项均为正，第8项为0，从第9项开始全为负值，
故差数列{a_n}的前7项和等于前8项和都为最大值．
故使得S_n最大的序号n的值为：7或8

点评：本题为等差数列的求和问题以及和的最值问题，从数列自身的变化来求解最值会使问题变得简单，属基础题．