【题目】如图,椭圆的上、下顶点分别为
,
,右焦点为
,点
在椭圆
上,且
.
(1)若点坐标为
,求椭圆
的方程;
(2)延长交椭圆
与点
,若直线
的斜率是直线
的斜率的3倍,求椭圆
的离心率;
(3)是否存在椭圆,使直线
平分线段
?
【答案】(1);(2)
;(3)存在.
【解析】试题分析:(1)由椭圆的标准方程,可得,进而得到
,再把点
代入椭圆的方程,即可求解椭圆的标准方程;
(2)由直线的方程与椭圆的方程联立,利用根据与系数的关系,得到
的坐标,再由
,化简即可求解椭圆的离心率.
(3)设与
交于
点,用直线
的方程与
联立,求解
点坐标,再把点
的坐标代入椭圆的方程,令
,转化为函数
恒成立,利用二次函数的性质,即可求解结论.
试题解析:(1),
,
,
.
.又
,
.
,
.
方程为
.
(2):
与
联立,得,
.
,
.
又,
.
,
,
.
(3):
.设
与
交于
点,
由,得
.
代入椭圆方程,得,
,令
,
得,设
,
恒成立,
在
上递增.
又,
,
在
存在
,使
,
存在椭圆
,使
平分线段
.
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【题目】根据某电子商务平台的调查统计显示,参与调查的1 000位上网购物者的年龄情况如图所示.
(1)已知[30,40),[40,50),[50,60)三个年龄段的上网购物者人数成等差数列,求a,b的值;
(2)该电子商务平台将年龄在[30,50)内的人群定义为高消费人群,其他年龄段的人群定义为潜在消费人群,为了鼓励潜在消费人群的消费,该平台决定发放代金券,高消费人群每人发放50元的代金券,潜在消费人群每人发放100元的代金券,现采用分层抽样的方式从参与调查的1 000位上网购物者中抽取10人,并在这10人中随机抽取3人进行回访,求此3人获得代金券总和X(单位:元)的分布列与数学期望.
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【题目】已知在极坐标系中点C的极坐标为.
(1)求出以点C为圆心,半径为2的圆的极坐标方程(写出解题过程)并画出图形;
(2)在直角坐标系中,以圆C所在极坐标系的极点为原点,极轴为x轴的正半轴建立直角坐标系,点P是圆C上任意一点,Q(5,-),M是线段PQ的中点,当点P在圆C上运动时,求点M的轨迹的普通方程.
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【题目】通过研究学生的学习行为,心理学家发现,学生接受能力依赖于老师引入概念和描述问题所用的时间,讲座开始时,学生的兴趣激增,中间有一段不太长的时间,学生的兴趣保持理想的状态,随后学生的注意力开始分散,分析结果和实验表明,用表示学生掌握和接受概念的能力(
的值越大,表示接受能力越强),
表示提出和讲授概念的时间(单位:分),可以有以下公式:
.
(1)开讲多少分钟后,学生的接受能力最强?能维持多少分钟?
(2)开讲5分钟与开讲20分钟比较,学生的接受能力何时强一些?
(3)一个数学难题,需要55的接受能力以及13分钟的时间,老师能否及时在学生一直达到所需接受能力的状态下讲授完这个难题?
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【题目】已知函数f(x)=m-|x-1|-|x-2|,m∈R,且f(x+1)≥0的解集为[0,1].
(1)求m的值;
(2)若a,b,c,x,y,z∈R,且x2+y2+z2=a2+b2+c2=m,求证:ax+by+cz≤1.
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【题目】下列命题:①集合的子集个数有16个;②定义在
上的奇函数
必满足
;③
既不是奇函数又不是偶函数;④偶函数的图像一定与
轴相交;⑤
在
上是减函数。
其中真命题的序号是 ______________(把你认为正确的命题的序号都填上).
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【题目】对于函数①f(x)=4x+-5,②f(x)=|log2 x|-(
)x,③f(x)=cos(x+2)-cosx,判断如下两个命题的真假:
命题甲:f(x)在区间(1,2)上是增函数;
命题乙:f(x)在区间(0,+∞)上恰有两个零点x1,x2,且x1x2<1.
能使命题甲、乙均为真的函数的序号是_____________.
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【题目】已知抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,A是抛物线上横坐标为4,且位于x轴上方的点,A到抛物线准线的距离等于5,过A作AB垂直于y轴,垂足为B,OB的中点为M.
(1)求抛物线的方程;
(2)以M为圆心,MB为半径作圆M,当K(m,0)是x轴上一动点时,讨论直线AK与圆M的位置关系.
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