Question

已知A、D分别为椭圆E：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左顶点与上顶点，椭圆的离心率e=

3

2

，F₁、F₂为椭圆的左、右焦点，点P是线段AD上的任一点，且

PF1

．

PF2

的最大值为1．
（1）求椭圆E的方程．
（2）是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A，B，且OA⊥OB（O为坐标原点），若存在，求出该圆的方程；若不存在，请说明理由．
（3）设直线l与圆C：x²+y²=R²（1＜R＜2）相切于A₁，且l与椭圆E有且仅有一个公共点B₁，当R为何值时，|A₁B₁|取最大值？并求最大值．

Answer 1

分析：（1）设P（x，y），F₁（-c，0），F₂（c，0），则

PF1

PF1

•

PF2

=x²+y²-c²，P在AD上，x²+y²看作线段AD上的点P（x，y）到原点距离的平方，所以P在A点，x²+y²最大，a²-c²=1，由此能求出椭圆方程1．
（2）由椭圆方程为

x2

4

+y²=1，设圆心在原点的圆的一条切线为y=kx+t，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．解方程组

y=kx+t x2 4 +y2=1

得（1+4k）²x²+8ktx+4t²-4=0，要使切线与椭圆恒有两个交点A，B，则使△=64k²t²-16（1+4k²）（t²-1）=16（4k²-t²+1）＞0．由此能求出存在圆心在原点的圆x²+y²=

4

5

，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A，B．
（3）设直线l的方程为y=mx+n，因为直线l与圆C：x²+y²=R²（1＜R＜2）相切于A₁，由R=

|n|

1+m2

，知n²=R²（1+m²），因为l与椭圆只有一个公共点B₁，所以

y=mx+n x2 4 +y2=1

，即（1+4m²）x²+8mx+4n²-4=0有唯一解．由此入手能够导出当R=

2

∈（1，2）时|A₁B₁|取得最大值，最大值为1．

解答：解：（1）设P（x，y），F₁（-c，0），F₂（c，0），其中c²=a²-b²，c＞0
则

PF1

=（-c-x，-y），

PF2

=（c-x，-y）∴

PF1

•

PF2

=x²+y²-c²
∵P在AD上，x²+y²看作线段AD上的点P（x，y）到原点距离的平方，
∴P在A点，x²+y²最大，∴a²-c²=1，
又e=

c

a

=

3

2

，∴a²=4，b²=1，c²=3，椭圆方程

x2

4

+y²=1．
（2）由（1）知椭圆方程为

x2

4

+y²=1，
①设圆心在原点的圆的一条切线为y=kx+t，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
解方程组

y=kx+t x2 4 +y2=1

得x²+4（kx+t）²=4，即（1+4k）²x²+8ktx+4t²-4=0，
要使切线与椭圆恒有两个交点A，B，则使△=64k²t²-16（1+4k²）（t²-1）=16（4k²-t²+1）＞0
即4k²-t²+1＞0，即t²＜4k²+1，且

x1+x2=- 8kt 1+4k2 x1x2= 4t2-4 1+4k2

，
y₁y₂=（kx₁+t）（kx₂+t）=k²x₁x₂+kt（x₁+x₂）+t²=

k2(4t2-4)

1+4k2

-

8 k2t2

1+4k2

+t²=

t2-4k2

1+4k2

，
要使

OA

⊥

OB

，需使x₁x₂+y₁y₂=0，即

4t2-4

1+4k2

+

t2-4k2

1+4k2

=

5t2-4k2-4

1+4k2

=0，
所以5t²-4k²-4=0，即5t²=4k²+4且t²＜4k²+1，即4k²+4＜20k²+5恒成立．
又因为直线y=kx+t为圆心在原点的圆的一条切线，
所以圆的半径为r=

|t|

1+k2

，r²=

t2

1+k2

=

4 5 (1+k2)

1+k2

=

4

5

，所求的圆为x²+y²=

4

5

．
②当切线的斜率不存在时，切线为x=±

2

5

5

，与

x2

4

+y²=1交于点（

2

5

5

，±

2

5

5

）或（-

2

5

5

，±

2

5

5

）满足．
综上，存在圆心在原点的圆x²+y²=

4

5

．，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A，B．

（3）设直线l的方程为y=mx+n，因为直线l与圆C：x²+y²=R²（1＜R＜2）相切于A₁，
由（2）知R=

|n|

1+m2

，即n²=R²（1+m²）①，因为l与椭圆只有一个公共点B₁，
由（2）知

y=mx+n x2 4 +y2=1

得x²+4（mx+n）²=4，即（1+4m²）x²+8mx+4n²-4=0有唯一解，
则△=64m²n²-16（1+4m²）（n²-1）=16（4m²-n²+1）=0，即4m²-n²+1=0，②
由①②得

n2= 3R2 4-R2 m2= R2-1 4-R2

此时A，B重合为B₁（x₁，y₁）点，由

x1 +x2=- 8mn 1+4m2 x1x2= 4n2-4 1+4m2

中x₁=x₂，所以x₁²=

4n2-4

1+4m2

=

16R2-16

3R2

，B₁（x₁，y₁）点在椭圆上，所以y₁²=1-

1

4

x₁²=

4-R2

3R2

|OB₁|²=x₁²+y₁²=5-

4

R2

，在直角三角形OA₁B₁中，|A₁B₁|²=|OB₁|²-|OA₁|²=5-

4

R2

-R²=5-（

4

R2

+R²）
因为（

4

R2

+R²）≥4当且仅当R=

2

∈（1，2）时取等号，所以|A₁B₁|²≤5-4=1
即当R=

2

∈（1，2）时|A₁B₁|取得最大值，最大值为1．

点评：本题主要考查直线与圆锥曲线的综合应用能力，具体涉及到轨迹方程的求法及直线与椭圆的相关知识，解题时要认真审题，注意挖掘题设中的隐条件，灵活运用椭圆性质，合理地进行等价转化．