Question

f(x)=

ax+b

x2+1

是定义在区间（-1，1）上的奇函数，且f(

1

2

)=

2

5

．
（1）求f（x）解析式；
（2）证明：f（x）为增函数；
（3）求不等式f（x-1）+f（x）＜0的解．

Answer 1

分析：（1）由f（x）为奇函数，知b=0，由f(

1

2

)=

2

5

，知a=1，由此能求出f（x）解析式．
（2）设-1＜x₁＜x₂＜1，则△x=x₂-x₁＞0，△y=f(x2)-f(x1)=

x2

x22+1

-

x1

x12+1

=

(x2-x1)(1-x1x2)

(x22+1)(x12+1)

，由此能证明f（x）在（-1，1）上为增函数．
（3）由f（x）为奇函数，f（x-1）+f（x）＜0，知f（x-1）＜-f（x）=f（-x），再由f（x）在（-1，1）上为增函数，能够求出不等式f（x-1）+f（x）＜0的解集．

解答：（1）解：∵f（x）为奇函数
∴f（0）=0，即b=0，
又f(

1

2

)=

1 2 a

1 4 +1

=

2

5

，解得a=1，
∴f(x)=

x

x2+1

．…（4分）
（2）证明：设-1＜x₁＜x₂＜1
即△x=x₂-x₁＞0，
△y=f(x2)-f(x1)=

x2

x22+1

-

x1

x12+1

=

(x2-x1)(1-x1x2)

(x22+1)(x12+1)

，
∵-1＜x₁＜1，-1＜x₂＜1，
∴-1＜x₁x₂＜1，
∴1-x₁x₂＞0，x₂-x₁＞0，
∴(x22+1)(x12+1)＞0，
∴△y＞0，
∴f（x）在（-1，1）上为增函数．
（3）解：∵f（x）为奇函数
又f（x-1）+f（x）＜0
∴f（x-1）＜-f（x）=f（-x）…（9分）
又f（x）在（-1，1）上为增函数
∴

-1＜x-1＜1 -1＜x＜1 x-1＜-x

，
∴0＜x＜

1

2

，
∴不等式f（x-1）+f（x）＜0的解集为{x|0＜x＜

1

2

}．…（14分）

点评：本题考查函数解析式的求法，考查函数单调性的证明，考查不等式的解法，解题时要认真审题，仔细解答，注意函数奇偶性的合理运用．