Question

已知椭圆C：x²+=1，过点M（0，1）的直线l与椭圆C相交于两点A、B．
（Ⅰ）若l与x轴相交于点P，且P为AM的中点，求直线l的方程；
（Ⅱ）设点N（0，），求||的最大值．

Answer 1

（Ⅰ）解：设A（x₁，y₁），
因为P为AM的中点，且P的纵坐标为0，M的纵坐标为1，
所以，解得y₁=-1，（1分）
又因为点A（x₁，y₁）在椭圆C上，
所以，即，解得，
则点A的坐标为（）或（-），
所以直线l的方程为，或．
（Ⅱ）解：设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
则，，
所以，
则，
当直线AB的斜率不存在时，
其方程为x=0，A（0，2），B（0，-2），此时；
当直线AB的斜率存在时，设其方程为y=kx+1，
由题设可得A、B的坐标是方程组的解，
消去y得（4+k²）x²+2kx-3=0，
所以△=（2k）²+12（4+k²）＞0，，
则，
所以
=，
当k=0时，等号成立，即此时取得最大值1．
综上，当直线AB的方程为x=0或y=1时，有最大值1．
分析：（Ⅰ）设A（x₁，y₁），因为P为AM的中点，且P的纵坐标为0，M的纵坐标为1，所以y₁=-1，又因为点A（x₁，y₁）在椭圆C上，所以，由此能求出直线l的方程．
（Ⅱ）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则，，所以，则，由此进行分类讨论，能推导出当直线AB的方程为x=0或y=1时，有最大值1．
点评：本题主要考查椭圆标准方程，简单几何性质，直线与椭圆的位置关系．考查运算求解能力，推理论证能力；考查化归与转化思想．解题时要认真审题，仔细解答，注意分类讨论思想的灵活运用．