Question

【题目】设椭圆C： （a＞2 ）的右焦点为F，右顶点为A，上顶点为B，且满足 ，其中O 为坐标原点，e为椭圆的离心率．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设点P是椭圆C上一点，直线PA与y轴交于点M，直线PB与x轴交于点N，求证：|AN||BM|为定值．

Answer 1

【答案】
（1）解：设F（c，0），由 ，得： ，故a2﹣c2=b2=8c2，

∴c2=1，a2=9

故椭圆C的方程为：

（2）证明：由（1）知： ，设P（x0，y0），则

当x0=0时， ，

故：

当x0≠0时，直线PA的方程为： ，令x=0，得： ，

故： ，

直线PB的方程为： ，令y=0，得： ，

故： ．

所以

=

综上可知： ，即|AN||BM|为定值

【解析】（1）由 ，可知 ，整理得：a2﹣c2=b2=8c2 ， 即可求得a和c的值，求得椭圆方程；（2）由（1）可知，求得A和B点坐标，当x0=0时，求得M和N点坐标，求得|AN|和BM|，即可求得 ，当x0≠0时，求得直线PA和PB的直线方程，求得点M和N的坐标，求得|AN|和BM|，即可求得|AN||BM|为定值．